الكسور المتساوية ومقارنة الكسور

يمكن أن نكتب العدد نفسه بكسور مختلفة: $\displaystyle \frac{3}{4}$ و$\displaystyle \frac{6}{8}$ هما العدد نفسه.

الكسور المتساوية

إذا قسمنا البسط والمقام على العدد نفسه، لا يتغيّر الكسر – فقط تكبر الأجزاء، ويقلّ عددها: $\displaystyle {\frac{6}{8}}={\frac{6:2}{8:2}}={\frac{3}{4}}$. هذا يُسمّى اختزالًا. على مستقيم الأعداد يقع $\displaystyle \frac{6}{8}$ و$\displaystyle \frac{3}{4}$ في النقطة نفسها:

وبالعكس: نضرب البسط والمقام في العدد نفسه – هذا هو التوسيع: $\displaystyle {\frac{3}{4}}={\frac{3\times2}{4\times2}}={\frac{6}{8}}$. هنا أيضًا لا يتغيّر الكسر – فقط تصغر الأجزاء، ويزيد عددها.

لكي نختزل حتى النهاية، نبحث عن أكبر عدد يقسم البسط والمقام معًا: $\displaystyle {\frac{12}{18}}={\frac{12:6}{18:6}}={\frac{2}{3}}$. الكسر الذي لا يمكن اختزاله أكثر، مثل $\displaystyle \frac{2}{3}$، يُسمّى كسرًا مختزلًا.

اختزلوا حتى النهاية.

مقارنة الكسور

عندما يكون المقام نفسه، تكون الأجزاء بالحجم نفسه – والكسر الذي فيه أجزاء أكثر هو الأكبر: $\displaystyle \frac{5}{7}>\frac{3}{7}$.

عندما يكون البسط نفسه، يكون عدد الأجزاء نفسه – والمهم هو حجم الأجزاء. كلما كبر المقام، صغرت الأجزاء: $\displaystyle \frac{2}{3}>\frac{2}{5}$.

نوسّع الكسرين إلى مقام مشترك – عدد يقبل القسمة على المقامين – ونقارن البسطين: $\displaystyle {\frac{2}{3}}={\frac{8}{12}}$ و$\displaystyle {\frac{3}{4}}={\frac{9}{12}}$، لذلك $\displaystyle \frac{3}{4}>\frac{2}{3}$.

أحيانًا يكون أسهل أن نقارن بـ 1: $\displaystyle {\frac{6}{5}}={1\frac{1}{5}}$ و$\displaystyle {\frac{7}{6}}={1\frac{1}{6}}$، والخُمس أكبر من السُّدس – لذلك $\displaystyle \frac{6}{5}>\frac{7}{6}$.

أكملوا $\displaystyle >$ أو $\displaystyle <$ أو $\displaystyle {}={}$، واشرحوا كيف قرّرتم:

$\displaystyle \frac{4}{9}\ \square\ \frac{7}{9} \qquad \frac{3}{5}\ \square\ \frac{3}{8} \qquad \frac{5}{6}\ \square\ \frac{3}{4} \qquad \frac{4}{6}\ \square\ \frac{6}{9} \qquad \frac{9}{8}\ \square\ \frac{10}{9}$