الانتقال إلى المحتوى

قوانين العمليات وترتيب العمليات

الكسور، الصف السادس الدرس 21 من 22تعلّم

قوانين العمليات وترتيب العمليات

ترتيب العمليات

عندما يكون في الحساب عدة عمليات، نحسبها بترتيب ثابت:

  1. أولًا ما بين القوسين؛
  2. بعد ذلك الضرب والقسمة، من اليسار إلى اليمين؛
  3. في النهاية الجمع والطرح، من اليسار إلى اليمين.

لذلك 12−2×3=12−6=6\displaystyle {12-2\times3}={12-6}={6}، أما (12−2)×3=10×3=30\displaystyle {(12-2)\times3}={10\times3}={30}: القوسان يقولان أن نطرح قبل أن نضرب.

تمرين 1

احسبوا حسب ترتيب العمليات.

أ

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    ب

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      ج

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        د

        أيّ الناتجين أكبر، ناتج البند أ أم ناتج البند ب؟ وبكم؟

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          قانون التبديل وقانون التجميع

          في الجمع وفي الضرب يُسمح بتبديل ترتيب الأعداد – هذا هو قانون التبديل:

          a+b\displaystyle a+b =\displaystyle = b+a\displaystyle b+a
          a×b\displaystyle a\times b =\displaystyle = b×a\displaystyle b\times a

          ويُسمح باختيار أيّ عددين نحسب أولًا – هذا هو قانون التجميع:

          (a+b)+c\displaystyle (a+b)+c =\displaystyle = a+(b+c)\displaystyle a+(b+c)
          (a×b)×c\displaystyle (a\times b)\times c =\displaystyle = a×(b×c)\displaystyle a\times(b\times c)

          الحروف a\displaystyle a، b\displaystyle b، c\displaystyle c تمثّل أيّ عدد كان. بفضل هذه القوانين يمكن أن نحسب ذهنيًّا: نبحث عن أعداد يسهل جمعها أو ضربها معًا.

          • 0.6+27+0.4=(0.6+0.4)+27=1+27=127\displaystyle {0.6+\frac{2}{7}+0.4}={(0.6+0.4)+\frac{2}{7}}={1+\frac{2}{7}}={1\frac{2}{7}}
          • 25×35×4=(25×4)×35=100×35=60\displaystyle {25\times\frac{3}{5}\times4}={(25\times4)\times\frac{3}{5}}={100\times\frac{3}{5}}={60}

          في الطرح وفي القسمة لا توجد قوانين كهذه: 8:2=4\displaystyle {8:2}={4}، لكن 2:8=14\displaystyle {2:8}={\frac{1}{4}}.

          تمرين 2

          احسبوا بمساعدة قانون التبديل وقانون التجميع.

          أ

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            ب

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              ج

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                د

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  قانون التوزيع

                  لكي نضرب عددًا في مجموع، يمكن أن نضربه في كل واحد من المضافين ثم نجمع حواصل الضرب. هذا هو قانون التوزيع:

                  a×(b+c)\displaystyle a\times(b+c) =\displaystyle = a×b+a×c\displaystyle a\times b+a\times c

                  بفضله نضرب ذهنيًّا: نفكّك أحد العددين إلى مجموع مريح.

                  • 6×43=6×40+6×3=240+18=258\displaystyle {6\times43}={6\times40+6\times3}={240+18}={258}
                  • 3×413=3×4+3×13=12+1=13\displaystyle {3\times4\frac{1}{3}}={3\times4+3\times\frac{1}{3}}={12+1}={13} – العدد الكسري هو مجموع: 413=4+13\displaystyle {4\frac{1}{3}}={4+\frac{1}{3}}.
                  • 4×1.5=4×1+4×0.5=4+2=6\displaystyle {4\times1.5}={4\times1+4\times0.5}={4+2}={6}
                  تمرين 3

                  احسبوا بمساعدة قانون التوزيع.

                  أ

                    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                    ب

                      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                      ج

                        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                        د

                          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                          الضرب في عدد أصغر من 1

                          عندما نضرب في عدد أصغر من 1، يكون الناتج أصغر من العدد. الضرب في 0.3\displaystyle 0.3 هو أخذ 0.3\displaystyle 0.3 من العدد – جزء منه:

                          • 10×12=5\displaystyle {10\times\frac{1}{2}}={5} – نصف الـ 10؛
                          • 10×0.3=3\displaystyle {10\times0.3}={3} – أقل من 10.

                          عندما نضرب في عدد أكبر من 1، يكون الناتج أكبر من العدد: 10×1.5=15\displaystyle {10\times1.5}={15}.

                          تمرين 4

                          أكملوا عددًا في المربّع، بحيث يكون الناتج أكبر من 3.75.
                          إذا لم يكن ذلك ممكنًا – اشرحوا لماذا.

                          3.75+□>3.75\displaystyle 3.75+\square>3.75 \displaystyle \qquad 3.75−□>3.75\displaystyle 3.75-\square>3.75 \displaystyle \qquad 3.75×□>3.75\displaystyle 3.75\times\square>3.75 \displaystyle \qquad 3.75:□>3.75\displaystyle 3.75:\square>3.75