الكسر العشري الدوري

عندما يمكن توسيع المقام إلى 10، 100، 1000 …، من السهل كتابة الكسر كعدد عشري: $\displaystyle {\frac{3}{4}}={\frac{75}{100}}={0.75}$.

الكسر $\displaystyle \frac{1}{3}$ لا يمكن توسيعه إلى 10 أو 100 أو 1000 – لا أحد منها من مضاعفات 3. لذلك نقسم: $\displaystyle {\frac{1}{3}}={1:3}$. في كل مرحلة من القسمة يبقى الباقي نفسه، 1، ولذلك لا تنتهي القسمة: $\displaystyle {\frac{1}{3}}={0.333\ldots}$

عدد عشري كهذا هو دوري: الأرقام نفسها تتكرر مرة بعد مرة. خط فوقها يبيّن أيّها: $\displaystyle {0.333\ldots}={0.\overline{3}}$، و$\displaystyle {\frac{1}{7}}={0.142857142857\ldots}={0.\overline{142857}}$. أحيانًا تبدأ الدورة لاحقًا: $\displaystyle {\frac{5}{6}}={0.8333\ldots}={0.8\overline{3}}$.

في الحسابات تكفي 3 أو 4 أرقام بعد الفاصلة: $\displaystyle \frac{1}{3}\approx0.333$ (الرمز $\displaystyle \approx$ معناه “تقريبًا”). نقرّب الرقم الأخير: إذا كان الرقم الذي بعده 5 أو أكثر، نضيف إليه 1 – $\displaystyle {\frac{2}{3}}={0.6666\ldots\approx0.667}$.

وسّعوا إلى 10 أو 100 أو 1000، واكتبوا كعدد عشري.

اقسموا (يُسمح بالآلة الحاسبة)، اكتبوا 4 أرقام بعد الفاصلة، وأشيروا إلى الأرقام التي تتكرر.

$\displaystyle \frac{2}{3} \qquad \frac{1}{6} \qquad \frac{5}{9} \qquad \frac{4}{11}$

ابحثوا: أيّ الكسور من بين $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \ldots \frac{1}{12}$ يعطي عددًا عشريًّا ينتهي، وأيّها – عددًا دوريًّا؟
هل تستطيعون إيجاد قاعدة؟