الانتقال إلى المحتوى

مساحة القرص

القياسات والمجسّمات، الصف السادس الدرس 10 من 16تعلّم

مساحة القرص

القرص ومربّعات نصف القطر

نقارن مساحة القرص بمساحة مربّع ضلعه نصف القطر، r\displaystyle r – نسمّيه مربّع نصف القطر (المربّع الملوّن في الرسم).

rr

  • القرص موجود داخل مربّع كبير مبنيّ من 4 مربّعات نصف قطر، لذلك مساحته أصغر من 4 مربّعات نصف قطر.
  • الزوايا الأربع التي خارج القرص أصغر معًا من مربّع نصف قطر واحد، لذلك القرص أكبر من 3 مربّعات نصف قطر.
  • رسمت نور على ورقة مربّعات قرصًا نصف قطره 10 مربّعات صغيرة، وعدّت المربّعات التي في داخله: خرج تقريبًا 314. في مربّع نصف القطر 10×10=100\displaystyle {10\times10}={100} مربّع صغير، لذلك القرص هو تقريبًا 3.14 مربّعات نصف قطر.

مساحة القرص هي π\displaystyle \pi مربّعات نصف قطر – العدد π\displaystyle \pi نفسه الذي في المحيط.

من القرص إلى المستطيل

يمكن أن نرى لماذا هذا صحيح: نقطع قرصًا إلى 16 قطاعًا متساويًا، مثل قطع البيتزا، ونرتّبها في صفّ – واحد رأسه إلى الأعلى، وواحد رأسه إلى الأسفل:

rπr

الشكل الذي حصلنا عليه يكاد يكون مستطيلًا:

  • ارتفاعه نصف قطر، r\displaystyle r.
  • طوله نصف المحيط: نصف الأقواس في الأسفل، ونصفها في الأعلى. نصف 2πr\displaystyle 2\pi r هو πr\displaystyle \pi r.
  • كلما كانت القطاعات أرفع، كان الشكل أقرب إلى المستطيل.

مساحة المستطيل هي الطول ضرب العرض، لذلك مساحة القرص هي πr×r\displaystyle \pi r\times r.

قانون المساحة
  • S\displaystyle S – مساحة القرص
  • r\displaystyle r – نصف القطر
S\displaystyle S =\displaystyle = πr2\displaystyle \pi r^2
  • r2\displaystyle r^2 (نقرأ: “r\displaystyle r تربيع”) هو r×r\displaystyle r\times r – نصف القطر ضرب نفسه، وليس 2×r\displaystyle 2\times r.
  • في الحساب: 3.14×r×r\displaystyle 3.14\times r\times r.
  • إذا كان القطر معطى، نقسمه أولًا على 2.
  • نقيس المساحة بوحدات مربّعة: سم²، م².
حساب المساحة

قطر بيتزا 30 سم.
ما مساحتها؟

  • نصف القطر هو 30:2=15\displaystyle {30:2}={15} سم.
  • المساحة: 3.14×15×15=706.5\displaystyle {3.14\times15\times15}={706.5} سم².
تمرين 1

احسبوا مساحة القرص، بالسم² (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14).

أ
نصف القطر 10 سم

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    ب
    نصف القطر 3 سم

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      ج
      القطر 8 سم

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        مضاعفة نصف القطر

        عندما يكبر نصف القطر مرّتين، تكبر المساحة 4 مرّات:

        • نصف القطر 1 سم: 3.14×1×1=3.14\displaystyle {3.14\times1\times1}={3.14} سم².
        • نصف القطر 2 سم: 3.14×2×2=12.56\displaystyle {3.14\times2\times2}={12.56} سم² – 4 أضعاف.
        • في الحساب يظهر نصف القطر مرّتين، و2×2=4\displaystyle {2\times2}={4}. مربّع نصف القطر أيضًا يكبر 4 مرّات.
        • أمّا المحيط فيكبر مرّتين فقط: في حسابه يظهر نصف القطر مرّة واحدة.
        تمرين 2

        في مطعم البيتزا يمكن أن نشتري بيتزا واحدة قطرها 40 سم، أو بيتزاتين قطر كل منهما 20 سم.
        في أيّهما بيتزا أكثر؟
        اشرحوا.

        نصف القرص والحلقة

        مساحة جزء من القرص نحسبها من مساحة القرص الكامل:

        • نصف القرص – نصف مساحة القرص.
        • الحلقة – الشكل الذي بين دائرتين لهما المركز نفسه. مساحتها هي مساحة القرص الكبير ناقص مساحة القرص الصغير.

        Rr

        مثلًا، حلقة نصف قطرها الخارجي (R\displaystyle R) 5 سم، ونصف قطرها الداخلي (r\displaystyle r) 3 سم:

        • القرص الكبير: 3.14×5×5=78.5\displaystyle {3.14\times5\times5}={78.5} سم².
        • القرص الصغير: 3.14×3×3=28.26\displaystyle {3.14\times3\times3}={28.26} سم².
        • الحلقة: 78.5−28.26=50.24\displaystyle {78.5-28.26}={50.24} سم².
        تمرين 3

        نافذة على شكل نصف قرص.
        قطرها 80 سم.
        ما مساحة الزجاج في النافذة، بالسم²؟ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          تمرين 4

          نصف قطر قرص مدمج (CD) 6 سم.
          في وسط القرص ثقب مستدير نصف قطره 1 سم.
          ما مساحة القرص المدمج، بالسم²؟ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            تمرين 5

            بوّابة مبنيّة من مربّع طول ضلعه 2 م، وفوقه نصف قرص.
            ما مساحة البوّابة، بالم²؟ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

            22

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              تمرين 6

              من مربّع كرتون طول ضلعه 10 سم قصّوا أكبر قرص يتّسع فيه.
              كم سم² من الكرتون بقي؟ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة