الانتقال إلى المحتوى

محيط الدائرة والعدد π

القياسات والمجسّمات، الصف السادس الدرس 9 من 16تعلّم

محيط الدائرة والعدد π

قياس المحيط

محيط الدائرة هو طول خطّها – الطريق الذي تقطعه نملة تدور حول الدائرة مرّة واحدة.

  • نقيسه بخيط: نلفّ خيطًا حول شيء مستدير، ونعلّم عليه المكان الذي يلتقي فيه، ونقيس الخيط المستقيم بالمسطرة.
  • لنقيس بدقّة أكبر، نلفّ الخيط 10 مرّات ونقسم الطول على 10.

قاس تلاميذ بهذه الطريقة قطر أربعة أشياء مستديرة ومحيطها:

الشيءالقطر (سم)المحيط (سم)
كأس825
صحن2475.6
عجلة دراجة50157
طوق80252
تمرين 1

كم مرّة المحيط أكبر من القطر؟
لكل شيء في الجدول، اقسموا المحيط على القطر.

أ
كأس

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    ب
    صحن

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      ج
      عجلة دراجة

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        د
        طوق

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          العدد π

          في كل دائرة، كبيرة أو صغيرة، المحيط أكبر من القطر بالعدد نفسه من المرّات – أكثر من 3 بقليل.

          • نسمّي هذا العدد باي، ونرمز له بالحرف اليوناني π\displaystyle \pi.
          • π=3.14159…\displaystyle {\pi}={3.14159\ldots} – الأرقام بعد الفاصلة العشرية لا تنتهي أبدًا، ولا تتكرّر.
          • في الحسابات نستعمل عددًا قريبًا: π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14. الإشارة ≈\displaystyle \approx معناها “يساوي تقريبًا”.
          • في القياسات خرجت أعداد مختلفة قليلًا، لأن القياس بالخيط والمسطرة ليس دقيقًا تمامًا.
          • في الكتاب المقدّس (سفر الملوك الأول، الإصحاح 7) يوصف إناء نحاسي مستدير، “البحر”، قطره 10 أذرع ومحيطه 30 ذراعًا: 3 أضعاف – تقريب للعدد π\displaystyle \pi.
          قانون المحيط
          • P\displaystyle P – المحيط
          • d\displaystyle d – القطر
          • r\displaystyle r – نصف القطر

          المحيط هو π\displaystyle \pi ضرب القطر:

          P\displaystyle P =\displaystyle = πd\displaystyle \pi d

          في القانون نكتب الأعداد والحروف متجاورة، دون إشارة ضرب: πd\displaystyle \pi d معناها π×d\displaystyle \pi\times d.

          القطر ضعف نصف القطر، لذلك يمكن أن نحسب المحيط من نصف القطر أيضًا:

          P\displaystyle P =\displaystyle = 2πr\displaystyle 2\pi r

          2πr\displaystyle 2\pi r يساوي تقريبًا 6.28×r\displaystyle 6.28\times r.

          حساب المحيط

          نصف قطر عجلة دراجة نور 30 سم.
          كم سم تقطع العجلة في دورة واحدة؟ وفي عشر دورات؟

          • في دورة واحدة تقطع العجلة محيطها: 2×3.14×30=188.4\displaystyle {2\times3.14\times30}={188.4} سم.
          • في عشر دورات: 10×188.4=1884\displaystyle {10\times188.4}={1884} سم – تقريبًا 19 مترًا.
          تمرين 2

          احسبوا محيط الدائرة، بالسم (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14).

          أ
          القطر 10 سم

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            ب
            نصف القطر 7 سم

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              ج
              قطعة نقود من فئة 10 ₪: القطر 2.3 سم

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                تمرين 3

                حول حوض زهور مستدير نصف قطره 2 م نبني سياجًا.
                ما طول السياج، بالأمتار؟ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  تمرين 4

                  نافذة مبنيّة على شكل نصف قرص.
                  قطرها – الضلع المستقيم السفلي – 80 سم.
                  ما طول إطار النافذة، مع الضلع المستقيم؟ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

                  80

                    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                    من المحيط إلى القطر

                    عندما يكون المحيط معروفًا، نجد القطر بالقسمة: المحيط هو 3.14 ضرب القطر، لذلك القطر هو المحيط مقسومًا على 3.14.
                    مثلًا، محيط طاولة مستديرة 314 سم:

                    • القطر: 314:3.14=100\displaystyle {314:3.14}={100} سم.
                    • نصف القطر هو نصف القطر: 50 سم.
                    تمرين 5

                    محيط كعكة مستديرة 62.8 سم.
                    ما قطرها؟ وما نصف قطرها؟ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

                    القطر

                      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                      نصف القطر

                        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                        تمرين 6

                        حُدِّد المتر بحيث يكون طول خطّ الاستواء – أكبر دائرة حول الكرة الأرضية – 40,000 كم.
                        ما نصف قطر الكرة الأرضية، تقريبًا؟
                        قرّبوا الإجابة إلى مئات الكيلومترات.