الانتقال إلى المحتوى

المجسّمات المنتظمة

القياسات والمجسّمات، الصف السادس الدرس 7 من 16تعلّم

المجسّمات المنتظمة

المضلّع المنتظم

المضلّع المنتظم هو مضلّع كل أضلاعه متساوية وكل زواياه متساوية.

  • المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث منتظم. كل زاوية فيه 60∘\displaystyle 60^\circ.
  • المربّع هو رباعي منتظم. كل زاوية فيه 90∘\displaystyle 90^\circ.
  • في الخماسي المنتظم كل زاوية 108∘\displaystyle 108^\circ، وفي السداسي المنتظم – 120∘\displaystyle 120^\circ.
  • المستطيل الذي ليس مربّعًا ليس منتظمًا: زواياه متساوية، لكن أضلاعه ليست متساوية.
المجسّم المنتظم

المجسّم المنتظم هو مجسّم كل أوجهه مستوية، وله ثلاث صفات:

  • كل أوجهه مضلّعات منتظمة، وكلها متطابقة (متساوية تمامًا).
  • عند كل رأس يلتقي العدد نفسه من الأوجه.
  • هو محدّب: ليس فيه تجاويف. القطعة بين أيّ نقطتين من المجسّم تبقى كلها داخل المجسّم.

المكعّب مجسّم منتظم: أوجهه الستة كلها مربّعات متطابقة، وعند كل رأس تلتقي ثلاثة أوجه.

المجسّمات المنتظمة الخمسة

يوجد خمسة مجسّمات منتظمة بالضبط:

الاسمالأوجهعدد الأوجهالأوجه عند كل رأس
1رباعي الأوجهمثلثات متساوية الأضلاع43
2المكعّبمربّعات63
3ثُماني الأوجهمثلثات متساوية الأضلاع84
4اثنا عشري الأوجهخماسيّات منتظمة123
5عشريني الأوجهمثلثات متساوية الأضلاع205
  • الأسماء مأخوذة من عدد الأوجه: أربعة، ثمانية، اثنا عشر وعشرون.
  • رباعي الأوجه هو هرم ثلاثي كل أوجهه مثلثات متساوية الأضلاع.
  • في ثلاثة من المجسّمات الأوجه مثلثات متساوية الأضلاع، وفي واحد مربّعات، وفي واحد خماسيّات.
الزوايا التي تلتقي عند الرأس

عند كل رأس من رؤوس المجسّم، مجموع زوايا الأوجه التي تلتقي عنده أصغر من 360∘\displaystyle 360^\circ – لذلك يوجد خمسة مجسّمات منتظمة فقط.

عند كل رأس من رؤوس المجسّم تلتقي ثلاثة أوجه على الأقل. نضع الأوجه التي تلتقي عند رأس واحد مسطّحة على الطاولة، متجاورة، حول نقطة واحدة:

  • إذا كان مجموع زواياها أصغر من 360∘\displaystyle 360^\circ، تبقى فجوة. نطوي الأوجه حتى تنغلق الفجوة، فتكوّن زاوية مجسّم.
  • إذا كان مجموع الزوايا 360∘\displaystyle 360^\circ بالضبط، تملأ الأوجه الدورة كلها وتبقى مسطّحة. لا يمكن أن نطويها إلى زاوية.
  • إذا كان مجموع الزوايا أكبر من 360∘\displaystyle 360^\circ، فالأوجه لا تتّسع حول النقطة أصلًا.

هكذا تبدو 3 و4 و5 و6 مثلثات متساوية الأضلاع حول نقطة:

  • المثلثات (60∘\displaystyle 60^\circ): ثلاثة – 180∘\displaystyle 180^\circ، أربعة – 240∘\displaystyle 240^\circ، خمسة – 300∘\displaystyle 300^\circ. كل هذه تعطي زاوية: رباعي الأوجه وثُماني الأوجه وعشريني الأوجه. ستة مثلثات هي 360∘\displaystyle 360^\circ – مسطّحة.
  • المربّعات (90∘\displaystyle 90^\circ): ثلاثة – 270∘\displaystyle 270^\circ، وهذا هو المكعّب. أربعة مربّعات هي 360∘\displaystyle 360^\circ – مسطّحة.
  • الخماسيّات (108∘\displaystyle 108^\circ): ثلاثة – 324∘\displaystyle 324^\circ، وهذا هو اثنا عشري الأوجه. أربعة خماسيّات هي 432∘\displaystyle 432^\circ – أكثر من اللازم.
  • السداسيّات (120∘\displaystyle 120^\circ): ثلاثة سداسيّات هي 360∘\displaystyle 360^\circ – مسطّحة. للمضلّعات ذات الأضلاع الأكثر زوايا أكبر من ذلك.

لذلك توجد خمس إمكانيات فقط، وخمسة مجسّمات منتظمة.

عدّ الأحرف والرؤوس

في المجسّم المنتظم كل الأوجه متساوية، لذلك يمكن أن نعدّ الأحرف والرؤوس دون أن نرى المجسّم. مثلًا، في المكعّب:

  • الأحرف: للأوجه الستة معًا 6×4=24\displaystyle {6\times4}={24} ضلعًا. كل حرف مبنيّ من ضلعين لوجهين، لذلك يوجد 24:2=12\displaystyle {24:2}={12} حرفًا.
  • الرؤوس: للأوجه الستة معًا 6×4=24\displaystyle {6\times4}={24} زاوية. عند كل رأس تلتقي ثلاث زوايا، لذلك يوجد 24:3=8\displaystyle {24:3}={8} رؤوس.
تمرين 1

كم حرفًا لكل مجسّم؟
استعينوا بجدول المجسّمات المنتظمة الخمسة.

أ
ثُماني الأوجه

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    ب
    اثنا عشري الأوجه

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      ج
      عشريني الأوجه

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        تمرين 2

        كم رأسًا لكل مجسّم؟

        أ
        ثُماني الأوجه

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          ب
          اثنا عشري الأوجه

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            ج
            عشريني الأوجه

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              تمرين 3

              في كل واحد من المجسّمات المنتظمة الخمسة احسبوا: عدد الأوجه + عدد الرؤوس − عدد الأحرف.
              احسبوا الشيء نفسه أيضًا في المنشور الثلاثي وفي الهرم الرباعي.
              ماذا اكتشفتم؟

              مُفرَدات المجسّمات المنتظمة

              هذه مُفرَدات رباعي الأوجه (1)، وثُماني الأوجه (2)، وعشريني الأوجه (3). كل الأوجه فيها مثلثات متساوية الأضلاع:

              وهذا مُفرَد اثني عشري الأوجه: “زهرتان”، في كل منهما خماسي وحوله خمسة خماسيّات. ننقل المُفرَد إلى ورق مقوّى، نقصّه ونطويه ونلصقه – فنحصل على المجسّم.

              تمرين 4

              نلصق رباعيَّي أوجه متساويين أحدهما بالآخر، وجهًا على وجه.
              للمجسّم الجديد ستة أوجه، وكلها مثلثات متساوية الأضلاع.
              هل المجسّم الجديد منتظم؟ اشرحوا.