الانتقال إلى المحتوى

حجم متوازي المستطيلات

القياسات والمجسّمات، الصف السادس الدرس 12 من 16تعلّم

حجم متوازي المستطيلات

تقدير الحجم

الحجم هو مقدار الحيّز الذي يشغله المجسّم – أو كم يتّسع في داخله. من المفيد أن نقدّر الحجم قبل أن نحسبه:

  • الكأس العادية تتّسع لنحو 250 سم³ – ربع لتر.
  • قنينة اللتر تتّسع لنحو 4 كؤوس.
  • علبة مشروب سعتها 330 سم³ تتّسع لكأس واحدة وقليل.
  • نختار الوحدة حسب حجم المجسّم: دواء بالملعقة الصغيرة – بالمل؛ دلو – باللترات؛ بركة سباحة – بالم³.
تمرين 1

كم كأسًا سعتها 250 سم³ يتّسع كل إناء؟

أ
قنينة 1.5 لتر

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    ب
    وعاء 2 لتر

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      ج
      قِدر 5 لترات

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        متوازي مستطيلات من المكعّبات

        بنى يوسف متوازي مستطيلات من مكعّبات حجم كل منها سنتيمتر مكعّب: 4 مكعّبات في الطول، 3 في العرض، وطبقتان في الارتفاع.

        423

        • في كل طبقة 4×3=12\displaystyle {4\times3}={12} مكعّبًا.
        • توجد طبقتان، لذلك في متوازي المستطيلات 12×2=24\displaystyle {12\times2}={24} مكعّبًا.
        • حجم متوازي المستطيلات 24 سم³.
        قانون حجم متوازي المستطيلات
        • V\displaystyle V – الحجم
        • a\displaystyle a، b\displaystyle b، c\displaystyle c – الطول والعرض والارتفاع
        • S\displaystyle S – مساحة القاعدة
        • h\displaystyle h – الارتفاع

        حجم متوازي المستطيلات هو الطول ضرب العرض ضرب الارتفاع:

        V\displaystyle V =\displaystyle = a×b×c\displaystyle a\times b\times c

        الطول ضرب العرض هو مساحة القاعدة – عدد المكعّبات في طبقة واحدة. الارتفاع هو عدد الطبقات. لذلك الحجم هو أيضًا مساحة القاعدة ضرب الارتفاع:

        V\displaystyle V =\displaystyle = S×h\displaystyle S\times h
        • كل وجه من أوجه متوازي المستطيلات يمكن أن يكون القاعدة: 4×3×2\displaystyle 4\times3\times2 و3×2×4\displaystyle 3\times2\times4 و2×4×3\displaystyle 2\times4\times3 هي الحجم نفسه، 24.
        • كل الأحرف يجب أن تكون بالوحدة نفسها: من السم نحصل على سم³، ومن الأمتار – على م³.
        حساب الحجم

        حوض أسماك على شكل متوازي مستطيلات: طوله 50 سم، وعرضه 30 سم، وارتفاعه 40 سم.
        كم لترًا من الماء يتّسع؟

        • الحجم: 50×30×40=60,000\displaystyle {50\times30\times40}={60{,}000} سم³.
        • في اللتر 1000 سم³، لذلك يتّسع 60,000:1000=60\displaystyle {60{,}000:1000}={60} لترًا.
        تمرين 2

        احسبوا الحجم.

        أ
        متوازي مستطيلات: 5 سم و4 سم و3 سم؛ بالسم³

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          ب
          مكعّب طول حرفه 6 سم؛ بالسم³

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            ج
            غرفة: الطول 4 م، العرض 3 م، الارتفاع 2.5 م؛ بالم³

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              د
              علبة: مساحة القاعدة 20 سم²، الارتفاع 8 سم؛ بالسم³

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                مجسّمات مختلفة، الحجم نفسه

                يمكن أن يكون لمجسّمات مختلفة الحجم نفسه. من 12 مكعّبًا حجم كل منها سنتيمتر مكعّب يمكن أن نبني، مثلًا:

                • صفًّا طويلًا، 12×1×1\displaystyle 12\times1\times1؛
                • متوازي مستطيلات 3×2×2\displaystyle 3\times2\times2؛
                • مجسّمًا ليس متوازي مستطيلات أبدًا، مثل الدرج.

                حجم كل واحد منها 12 سم³.

                تمرين 3

                صمّموا ثلاثة متوازيات مستطيلات مختلفة حجم كل منها 24 سم³.
                أطوال الأحرف – أعداد صحيحة من السنتيمترات.

                تغيير الأحرف

                عندما يكبر حرف واحد من أحرف متوازي المستطيلات مرّتين، يكبر الحجم مرّتين. عندما تكبر الأحرف الثلاثة مرّتين، يكبر الحجم 8 مرّات:

                • متوازي مستطيلات 2×3×4\displaystyle 2\times3\times4: الحجم 24.
                • الطول فقط مضاعف، 4×3×4\displaystyle 4\times3\times4: الحجم 48 – ضعفان.
                • كل الأحرف مضاعفة، 4×6×8\displaystyle 4\times6\times8: الحجم 192 – 2×2×2=8\displaystyle {2\times2\times2}={8} أضعاف.
                تمرين 4

                طول حرف مكعّب 3 سم، وطول حرف مكعّب آخر 6 سم.
                كم مرّة حجم المكعّب الثاني أكبر من حجم الأول؟

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  الحجم والمساحة الكلية

                  المساحة الكلية للمجسّم هي مجموع مساحات كل أوجهه – كم ورقًا نحتاج لنغلّفه. المجسّمات التي لها الحجم نفسه يمكن أن تكون لها مساحات كلية مختلفة:

                  • أربعة مكعّبات في صفّ: 4 مربّعات في الأعلى، 4 في الأسفل، 4 في الأمام، 4 في الخلف، و2 عند الطرفين – مساحة كلية 18 سم².
                  • أربعة مكعّبات في مربّع 2×2\displaystyle 2\times2: 4 في الأعلى، 4 في الأسفل، و2 في كل جانب من الجوانب الأربعة – 16 سم².
                  • حجم كل منهما 4 سم³.
                  • كلما كان المجسّم أكثر تجمّعًا، أقرب إلى المكعّب، كانت مساحته الكلية أصغر.
                  تمرين 5

                  نبني مجسّمات من 8 مكعّبات حجم كل منها سنتيمتر مكعّب.
                  ما المساحة الكلية لكل مجسّم، بالسم²؟

                  أ
                  صفّ من 8 مكعّبات

                    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                    ب
                    مكعّب كبير، 2×2×2\displaystyle 2\times2\times2

                      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                      تمرين 6

                      بركة سباحة على شكل متوازي مستطيلات: طولها 6 م، وعرضها 4 م.
                      تتّسع لـ 36 م³ من الماء.
                      ما عمق البركة؟

                        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة