الانتقال إلى المحتوى

حجم الأسطوانة والمخروط

القياسات والمجسّمات، الصف السادس الدرس 13 من 16تعلّم

حجم الأسطوانة والمخروط

حجم الأسطوانة
  • V\displaystyle V – الحجم
  • r\displaystyle r – نصف قطر القاعدة
  • h\displaystyle h – الارتفاع

rh

حجم الأسطوانة، مثل حجم متوازي المستطيلات، هو مساحة القاعدة ضرب الارتفاع.

  • نملأ أسطوانة بالماء، طبقة بعد طبقة، كل طبقة ارتفاعها سنتيمتر واحد.
  • في كل طبقة قرص من الماء سُمكه 1 سم: حجمها هو مساحة القاعدة، πr2\displaystyle \pi r^2، ضرب 1.
  • في أسطوانة ارتفاعها h\displaystyle h سم توجد h\displaystyle h طبقات كهذه.
V\displaystyle V =\displaystyle = πr2h\displaystyle \pi r^2 h

في الحساب: 3.14×r×r×h\displaystyle 3.14\times r\times r\times h.

حساب حجم الأسطوانة

علبة معلّبات على شكل أسطوانة: نصف القطر 4 سم، والارتفاع 10 سم.
كم سم³ تتّسع؟

  • مساحة القاعدة: 3.14×4×4=50.24\displaystyle {3.14\times4\times4}={50.24} سم².
  • الحجم: 50.24×10=502.4\displaystyle {50.24\times10}={502.4} سم³ – تقريبًا نصف لتر.
تمرين 1

احسبوا حجم الأسطوانة، بالسم³ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14).

أ
نصف القطر 5 سم، الارتفاع 10 سم

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    ب
    نصف القطر 2 سم، الارتفاع 10 سم

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      ج
      القطر 10 سم، الارتفاع 4 سم

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        تمرين 2

        نصف قطر قِدر 10 سم، وارتفاعه 20 سم.
        كم لترًا من الماء يتّسع؟ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          حجم المخروط

          نأخذ مخروطًا مجوّفًا وأسطوانة مجوّفة لهما القاعدة نفسها والارتفاع نفسه. نملأ المخروط بالرمل ونسكبه في الأسطوانة: بعد ثلاث مرّات تمتلئ الأسطوانة.

          hrh

          لذلك حجم المخروط هو ثلث حجم الأسطوانة – مساحة القاعدة ضرب الارتفاع، مقسومًا على 3:

          V\displaystyle V =\displaystyle = πr2h3\displaystyle \frac{\pi r^2 h}{3}
          حساب حجم المخروط

          قمع بوظة على شكل مخروط: نصف القطر 3 سم، والارتفاع 10 سم.
          كم سم³ يتّسع؟

          • أسطوانة لها القاعدة نفسها والارتفاع نفسه: 3.14×3×3×10=282.6\displaystyle {3.14\times3\times3\times10}={282.6} سم³.
          • القمع ثلثها: 282.6:3=94.2\displaystyle {282.6:3}={94.2} سم³.
          تمرين 3

          احسبوا حجم المخروط، بالسم³ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14).

          أ
          نصف القطر 6 سم، الارتفاع 10 سم

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            ب
            نصف القطر 3 سم، الارتفاع 5 سم

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              تمرين 4

              للأسطوانة والمخروط القاعدة نفسها والارتفاع نفسه.
              حجم المخروط 50 سم³.
              ما حجم الأسطوانة؟

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                تمرين 5

                حجم أسطوانة 600 سم³، وارتفاعها 12 سم.
                ما مساحة قاعدتها؟

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة