الانتقال إلى المحتوى

حجم المنشور والهرم والكرة

القياسات والمجسّمات، الصف السادس الدرس 14 من 16تعلّم

حجم المنشور والهرم والكرة

حجم المنشور
  • V\displaystyle V – الحجم
  • S\displaystyle S – مساحة القاعدة
  • h\displaystyle h – الارتفاع

h

حجم المنشور، مثل حجم متوازي المستطيلات والأسطوانة، هو مساحة القاعدة ضرب الارتفاع:

V\displaystyle V =\displaystyle = S×h\displaystyle S\times h
  • القاعدة يمكن أن تكون مثلثًا أو خماسيًا أو أيّ مضلّع آخر.
  • الارتفاع هو البعد بين القاعدتين.
  • متوازي المستطيلات هو منشور قاعدته مستطيل.
حساب حجم المنشور

قاعدة منشور مثلث: أحد أضلاعه 6 سم، والارتفاع إلى هذا الضلع 4 سم.
ارتفاع المنشور 10 سم.
ما حجم المنشور؟

  • مساحة القاعدة: 6×4:2=12\displaystyle {6\times4:2}={12} سم².
  • الحجم: 12×10=120\displaystyle {12\times10}={120} سم³.
تمرين 1

احسبوا حجم المنشور، بالسم³.

أ
مساحة القاعدة 15 سم²، الارتفاع 8 سم

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

    ب
    القاعدة مثلث: ضلع 10 سم والارتفاع إليه 6 سم؛ ارتفاع المنشور 20 سم

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

      ج
      القاعدة سداسي مساحته 26 سم²، الارتفاع 5 سم

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

        حجم الهرم

        h

        الهرم والمنشور اللذان لهما القاعدة نفسها والارتفاع نفسه هما مثل المخروط والأسطوانة: ثلاثة أهرام من الرمل تملأ المنشور. لذلك حجم الهرم هو ثلث حجم المنشور:

        V\displaystyle V =\displaystyle = S×h3\displaystyle \frac{S\times h}{3}
        • ارتفاع الهرم هو البعد من الرأس العلوي إلى القاعدة (الخطّ المتقطّع في الرسم).
        • مثلًا، هرم قاعدته مربّع 6 سم في 6 سم، وارتفاعه 5 سم: 6×6×5:3=60\displaystyle {6\times6\times5:3}={60} سم³.
        تمرين 2

        احسبوا حجم الهرم.

        أ
        القاعدة مربّع 3 سم في 3 سم، الارتفاع 4 سم؛ بالسم³

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

          ب
          القاعدة مستطيل 10 سم في 6 سم، الارتفاع 9 سم؛ بالسم³

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

            ج
            الهرم الأكبر في الجيزة: القاعدة مربّع 230 م في 230 م، الارتفاع 147 م (تقريبًا)؛ بالم³

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

              حجم الكرة

              الكرة مجسّم مستدير تمامًا، مثل كرة السلّة: كل النقاط على سطحها تقع على البعد نفسه من المركز – نصف القطر.

              • نأخذ أسطوانة تحيط بالكرة تمامًا: نصف قطرها هو نصف قطر الكرة، وارتفاعها هو القطر، 2r\displaystyle 2r.
              • نملأ الأسطوانة بالماء، وندفع الكرة إلى داخلها: ينسكب ثلثا الماء، ويبقى الثلث.

              r2r

              لذلك حجم الكرة هو 23\displaystyle \frac{2}{3} حجم الأسطوانة التي تحيط بها:

              V\displaystyle V =\displaystyle = 23×πr2×2r\displaystyle \frac{2}{3}\times\pi r^2\times2r

              مثلًا، كرة نصف قطرها 3 سم:

              • الأسطوانة التي تحيط بها: 3.14×3×3×6=169.56\displaystyle {3.14\times3\times3\times6}={169.56} سم³.
              • الكرة: 169.56:3×2=113.04\displaystyle {169.56:3\times2}={113.04} سم³.
              تمرين 3

              احسبوا حجم الكرة، بالسم³ (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14).

              أ
              نصف القطر 6 سم

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                ب
                كرة سلّة: نصف القطر 12 سم

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                  تمرين 4

                  صمّموا مجسّمين مختلفين – منشورًا أو هرمًا أو أسطوانة أو مخروطًا – حجم كل منهما 60 سم³.
                  اكتبوا قياساتهما، وبيّنوا بالحساب أن الحجم يساوي 60 سم³.

                  تمرين 5

                  للهرم والمنشور القاعدة نفسها – مربّع 4 سم في 4 سم.
                  حجم كل منهما 48 سم³.
                  ما ارتفاع المنشور؟ وما ارتفاع الهرم؟

                  ارتفاع المنشور

                    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                    / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                    ارتفاع الهرم

                      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – فحص وسطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة

                      / – خط الكسر · Tab أو الأسهم – بين البسط والمقام، ثم ملاحظة فوقه أو تحته · Enter – سطر جديد · * – ضرب · ^ – قوّة، ↓ – نهاية القوّة