דלג לתוכן

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

נקודות וישרים

  • המרחק בין הנקודות (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) ו-(x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)
    d\displaystyle d =\displaystyle = (x1−x2)2+(y1−y2)2\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}
  • השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
    m\displaystyle m =\displaystyle = y2−y1x2−x1\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x1≠x2\displaystyle x_1\neq x_2
  • משוואת ישר ששיפועו m\displaystyle m, העובר דרך (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)
    y−y1=m(x−x1)\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)
  • ישרים מאונכים – m1\displaystyle m_1, m2\displaystyle m_2 השיפועים
    m1⋅m2\displaystyle m_1\cdot m_2 =\displaystyle = −1\displaystyle -1
  • הנקודה C\displaystyle C המחלקת את הקטע AB\displaystyle AB ביחס AC:CB=k:l\displaystyle {AC:CB}={k:l} – A(x1,y1)\displaystyle A(x_1,y_1), B(x2,y2)\displaystyle B(x_2,y_2)
    C(lx1+kx2k+l,ly1+ky2k+l)\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)
  • המרחק של הנקודה (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0) מהישר Ax+By+C=0\displaystyle {Ax+By+C}={0}
    d\displaystyle d =\displaystyle = ∣Ax0+By0+C∣A2+B2\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}
  • המרחק בין הישרים המקבילים Ax+By+C1=0\displaystyle {Ax+By+C_1}={0} ו-Ax+By+C2=0\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}
    d\displaystyle d =\displaystyle = ∣C1−C2∣A2+B2\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

מעגל

  • משוואת מעגל שמרכזו (a,b)\displaystyle (a,b) ורדיוסו R\displaystyle R
    (x−a)2+(y−b)2=R2\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}
  • המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
    x2+y2+Cx+Dy+E=0\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0
  • משוואת המשיק למעגל בנקודה (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0) שעליו
    (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=R2\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}

פרבולה

  • פרבולה קנונית
    y2=2px\displaystyle y^{2}=2px
  • המוקד
    F(p2,0)\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)
  • המדריך
    x=−p2\displaystyle x=-\frac{p}{2}
  • משוואת המשיק בנקודה (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0) שעל הפרבולה
    y⋅y0=p(x+x0)\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)

אליפסה

  • אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה-x\displaystyle x כש-a>b\displaystyle a>b
    x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
  • המרחק של מוקד מהראשית
    c\displaystyle c =\displaystyle = a2−b2\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}
  • סכום המרחקים של נקודה P\displaystyle P על האליפסה מהמוקדים
    PF1+PF2\displaystyle PF_1+PF_2 =\displaystyle = 2a\displaystyle 2a

היפרבולה

  • היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה-x\displaystyle x
    x2a2−y2b2=1\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
  • המרחק של מוקד מהראשית
    c\displaystyle c =\displaystyle = a2+b2\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}
  • הפרש המרחקים של נקודה P\displaystyle P על ההיפרבולה מהמוקדים
    ∣PF1−PF2∣\displaystyle |PF_1-PF_2| =\displaystyle = 2a\displaystyle 2a
  • האסימפטוטות
    y=±bax\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x