דלג לתוכן

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

טרנספורמציות של הגרף של $f$

  • הזזה אופקית: p\displaystyle p יחידות ימינה (p>0\displaystyle p>0) או שמאלה (p<0\displaystyle p<0)
    y=f(x−p)\displaystyle y=f(x-p)
  • הזזה אנכית: k\displaystyle k יחידות למעלה (k>0\displaystyle k>0) או למטה (k<0\displaystyle k<0)
    y=f(x)+k\displaystyle y=f(x)+k
  • שיקוף ביחס לציר x\displaystyle x
    y=−f(x)\displaystyle y=-f(x)
  • שיקוף ביחס לציר y\displaystyle y
    y=f(−x)\displaystyle y=f(-x)
  • מתיחה (a>1\displaystyle a>1) או כיווץ (0<a<1\displaystyle 0<a<1) אנכיים
    y=a⋅f(x)\displaystyle y=a\cdot f(x)
  • ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר x\displaystyle x משתקף מעליו
    y=∣f(x)∣\displaystyle y=|f(x)|

פונקציה רציונלית

  • אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – a\displaystyle a ו-b\displaystyle b המקדמים של החזקה הגבוהה
    y=ab\displaystyle y=\frac{a}{b}
  • אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
    y=0\displaystyle y=0
  • פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר y\displaystyle y
    f(−x)\displaystyle f(-x) =\displaystyle = f(x)\displaystyle f(x)
  • פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
    f(−x)\displaystyle f(-x) =\displaystyle = −f(x)\displaystyle -f(x)

נגזרות ומשיק

  • נגזרת של חזקה
    (xn)′=nxn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}
  • נגזרת של מכפלה
    (u⋅v)′\displaystyle \left(u\cdot v\right)' =\displaystyle = u′⋅v+u⋅v′\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'
  • נגזרת של מנה
    (uv)′\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' =\displaystyle = u′⋅v−u⋅v′v2\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}
  • נגזרת של cx\displaystyle \frac{c}{x}
    (cx)′\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)' =\displaystyle = −cx2\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}
  • נגזרת של שורש – u\displaystyle u פונקציה של x\displaystyle x
    (u)′\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)' =\displaystyle = u′2u\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}
  • משוואת המשיק בנקודה (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)
    y−y1\displaystyle y-y_1 =\displaystyle = m(x−x1)\displaystyle m(x-x_1)
  • שיפוע המשיק
    m\displaystyle m =\displaystyle = f′(x1)\displaystyle f'(x_1)

חקירה בעזרת הנגזרת

  • הפונקציה עולה
    f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0
  • הפונקציה יורדת
    f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0
  • נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של f′\displaystyle f' משני צדיה
    f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0

אינטגרלים ושטחים

  • אינטגרל של חזקה
    ∫xn dx\displaystyle \int x^{n}\,dx =\displaystyle = xn+1n+1+C\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+Cn≠−1\displaystyle n\neq-1
  • אינטגרל של c(ax+b)2\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}
    ∫c(ax+b)2 dx\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx =\displaystyle = −ca(ax+b)+C\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C
  • האינטגרל המסוים – F\displaystyle F פונקציה קדומה של f\displaystyle f
    ∫abf(x) dx\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx =\displaystyle = F(b)−F(a)\displaystyle F(b)-F(a)
  • השטח בין שני גרפים, מ-x=a\displaystyle {x}={a} עד x=b\displaystyle {x}={b}
    S\displaystyle S =\displaystyle = ∫ab(f(x)−g(x))dx\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dxf(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\geq g(x)