דלג לתוכן

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

אלגברה

  • ריבוע של סכום ושל הפרש
    (a±b)2\displaystyle (a\pm b)^2 =\displaystyle = a2±2ab+b2\displaystyle a^2\pm2ab+b^2
  • הפרש ריבועים
    a2−b2\displaystyle a^2-b^2 =\displaystyle = (a−b)(a+b)\displaystyle (a-b)(a+b)
  • חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
    (a±b)3\displaystyle (a\pm b)^3 =\displaystyle = a3±3a2b+3ab2±b3\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3
  • סכום והפרש של חזקות שלישיות
    a3±b3\displaystyle a^3\pm b^3 =\displaystyle = (a±b)(a2∓ab+b2)\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)
  • נוסחת השורשים של ax2+bx+c=0\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}
    x1,2=−b±b2−4ac2a\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
  • פירוק הטרינום – x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 שורשי המשוואה ax2+bx+c=0\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}
    ax2+bx+c\displaystyle ax^2+bx+c =\displaystyle = a(x−x1)(x−x2)\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)

תכונות של פונקציה

  • פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־y\displaystyle y
    f(−x)\displaystyle f(-x) =\displaystyle = f(x)\displaystyle f(x)
  • פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
    f(−x)\displaystyle f(-x) =\displaystyle = −f(x)\displaystyle -f(x)
  • שורש של ריבוע
    x2\displaystyle \sqrt{x^2} =\displaystyle = ∣x∣\displaystyle |x|
  • ערך מוחלט
    ∣a∣={aa≥0−aa<0\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}

טרנספורמציות של גרף

  • הזזה של k\displaystyle k יחידות למעלה (k<0\displaystyle k<0 – למטה)
    y=f(x)+k\displaystyle y=f(x)+k
  • הזזה של p\displaystyle p יחידות ימינה (p<0\displaystyle p<0 – שמאלה)
    y=f(x−p)\displaystyle y=f(x-p)
  • מתיחה אנכית (∣a∣>1\displaystyle |a|>1) או כיווץ (∣a∣<1\displaystyle |a|<1)
    y=a⋅f(x)\displaystyle y=a\cdot f(x)
  • כיווץ אופקי פי a\displaystyle a (a>1\displaystyle a>1) או מתיחה (0<a<1\displaystyle 0<a<1)
    y=f(ax)\displaystyle y=f(ax)
  • שיקוף ביחס לציר ה־x\displaystyle x
    y=−f(x)\displaystyle y=-f(x)
  • שיקוף ביחס לציר ה־y\displaystyle y
    y=f(−x)\displaystyle y=f(-x)

הנגזרת

  • קצב השינוי הממוצע בין x1\displaystyle x_1 ל־x2\displaystyle x_2 – שיפוע החותך
    f(x2)−f(x1)x2−x1\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
  • הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
    f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
  • נגזרת של חזקה
    (xn)′\displaystyle (x^n)' =\displaystyle = nxn−1\displaystyle nx^{n-1}
  • נגזרת של קבוע
    (c)′\displaystyle (c)' =\displaystyle = 0\displaystyle 0
  • נגזרת של כפל בקבוע
    (c⋅f(x))′\displaystyle (c\cdot f(x))' =\displaystyle = c⋅f′(x)\displaystyle c\cdot f'(x)
  • נגזרת של סכום ושל הפרש
    (f(x)±g(x))′\displaystyle (f(x)\pm g(x))' =\displaystyle = f′(x)±g′(x)\displaystyle f'(x)\pm g'(x)
  • המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
    v(t)\displaystyle v(t) =\displaystyle = s′(t)\displaystyle s'(t)

כללי גזירה

  • נגזרת של מכפלת פונקציות
    [f(x)⋅g(x)]′\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]' =\displaystyle = f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)
  • נגזרת של מנת פונקציות
    [f(x)g(x)]′\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' =\displaystyle = f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}
  • נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
    [f(u(x))]′\displaystyle [f(u(x))]' =\displaystyle = f′(u)⋅u′(x)\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)
  • נגזרת של 1x\displaystyle \frac{1}{x}
    (1x)′\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)' =\displaystyle = −1x2\displaystyle -\frac{1}{x^2}
  • נגזרת של x\displaystyle \sqrt{x}
    (x)′\displaystyle (\sqrt{x})' =\displaystyle = 12x\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}x>0\displaystyle x>0
  • נגזרת של שורש של פונקציה
    (f(x))′\displaystyle (\sqrt{f(x)})' =\displaystyle = f′(x)2f(x)\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}f(x)>0\displaystyle f(x)>0

המשיק לגרף

  • שיפוע המשיק בנקודה (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) שעל הגרף
    m=f′(x1)\displaystyle m=f'(x_1)
  • משוואת המשיק
    y−y1=m(x−x1)\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)

עלייה, ירידה וקיצון

  • הפונקציה עולה
    f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0
  • הפונקציה יורדת
    f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0
  • נקודה חשודה כקיצון
    f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0

אסימפטוטות

  • אסימפטוטה אנכית – a\displaystyle a נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
    x=a\displaystyle x=a
  • אסימפטוטה אופקית – b\displaystyle b הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־x\displaystyle x גדל או קטן בלי סוף
    y=b\displaystyle y=b