דלג לתוכן

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

  • המספר i\displaystyle i
    i2=−1\displaystyle i^{2}=-1
  • ההצגה האלגברית
    z=a+bi\displaystyle z=a+bia=Re⁡(z), b=Im⁡(z)\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)
  • שוויון בין מספרים מרוכבים
    a+bi=c+di  ⟺  a=c, b=d\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d
  • כפל
    (a+bi)(c+di)\displaystyle (a+bi)(c+di) =\displaystyle = (ac−bd)+(ad+bc)i\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i
  • המספר הצמוד
    zˉ=a−bi\displaystyle \bar{z}=a-bi
  • מכפלת מספר בצמוד שלו
    z⋅zˉ\displaystyle z\cdot\bar{z} =\displaystyle = a2+b2\displaystyle a^{2}+b^{2}
  • חילוק – כפל בצמוד של המכנה
    z1z2\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}} =\displaystyle = z1⋅zˉ2z2⋅zˉ2\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}

ערך מוחלט ומספר צמוד

  • הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
    ∣z∣\displaystyle |z| =\displaystyle = a2+b2\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}
  • המרחק בין שתי נקודות
    ∣z1−z2∣\displaystyle |z_{1}-z_{2}| =\displaystyle = (a1−a2)2+(b1−b2)2\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}
  • מכפלה בצמוד וערך מוחלט
    z⋅zˉ\displaystyle z\cdot\bar{z} =\displaystyle = ∣z∣2\displaystyle |z|^{2}
  • הערך המוחלט של מכפלה
    ∣z1⋅z2∣\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}| =\displaystyle = ∣z1∣⋅∣z2∣\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|
  • הצמוד של סכום
    z1+z2‾\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}} =\displaystyle = zˉ1+zˉ2\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}
  • הצמוד של מכפלה
    z1⋅z2‾\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}} =\displaystyle = zˉ1⋅zˉ2\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}
  • סכום מספר והצמוד שלו
    z+zˉ\displaystyle z+\bar{z} =\displaystyle = 2Re⁡(z)\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)
  • אי־שוויון המשולש
    ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|

משוואה ריבועית

  • נוסחת השורשים
    z1,2=−b±b2−4ac2a\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
  • סכום השורשים
    z1+z2\displaystyle z_{1}+z_{2} =\displaystyle = −ba\displaystyle -\frac{b}{a}
  • מכפלת השורשים
    z1⋅z2\displaystyle z_{1}\cdot z_{2} =\displaystyle = ca\displaystyle \frac{c}{a}

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

  • ההצגה הקוטבית
    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)r=∣z∣\displaystyle r=|z|
  • הסימון cis
    rcis⁡θ\displaystyle r\operatorname{cis}\theta =\displaystyle = r(cos⁡θ+isin⁡θ)\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)
  • החלק הממשי
    a=rcos⁡θ\displaystyle a=r\cos\theta
  • החלק המדומה
    b=rsin⁡θ\displaystyle b=r\sin\theta
  • הזווית – לפי הרביע של הנקודה
    tan⁡θ=ba\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}a≠0\displaystyle a\neq0
  • מכפלה בהצגה קוטבית
    z1⋅z2=r1⋅r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]
  • מנה בהצגה קוטבית
    z1z2=r1r2cis⁡(θ1−θ2)\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})
  • משפט דה־מואבר
    [R(cos⁡φ+isin⁡φ)]n\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n} =\displaystyle = Rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)
  • פתרונות המשוואה zn=R(cos⁡φ+isin⁡φ)\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}
    zk=Rn[cos⁡(φn+2kπn)+isin⁡(φn+2kπn)]\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]zn=R(cos⁡φ+isin⁡φ), k=0,1,…,n−1\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1

מקומות גאומטריים וסיבוב

  • מעגל שמרכזו z0\displaystyle z_0 ורדיוסו R\displaystyle R
    ∣z−z0∣=R\displaystyle |z-z_{0}|=R
  • האנך האמצעי לקטע z1z2\displaystyle z_1z_2
    ∣z−z1∣=∣z−z2∣\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|
  • מעגל אפולוניוס
    ∣z−z1∣=m∣z−z2∣\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|m>0, m≠1\displaystyle m>0,\ m\neq1
  • סיבוב בזווית θ\displaystyle \theta סביב z0\displaystyle z_0
    w=z0+(z−z0)cis⁡θ\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta