דלג לתוכן

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

גאומטריה אנליטית

  • המרחק בין הנקודות (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) ו-(x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)
    d\displaystyle d =\displaystyle = (x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  • אמצע הקטע
    M(x1+x22, y1+y22)\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)
  • השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
    m\displaystyle m =\displaystyle = y2−y1x2−x1\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x1≠x2\displaystyle x_1\neq x_2
  • משוואת הישר בצורה מפורשת – m\displaystyle m השיפוע, b\displaystyle b נקודת החיתוך עם ציר ה-y\displaystyle y
    y=mx+b\displaystyle y=mx+b
  • משוואת הישר בצורה סתומה
    Ax+By+C=0\displaystyle Ax+By+C=0
  • הישר ששיפועו m\displaystyle m ועובר דרך הנקודה (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)
    y−y1\displaystyle y-y_1 =\displaystyle = m(x−x1)\displaystyle m(x-x_1)
  • ישרים מקבילים
    m1\displaystyle m_1 =\displaystyle = m2\displaystyle m_2
  • ישרים מאונכים
    m1⋅m2\displaystyle m_1\cdot m_2 =\displaystyle = −1\displaystyle -1
  • השיפוע – α\displaystyle \alpha הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה-x\displaystyle x
    m\displaystyle m =\displaystyle = tan⁡α\displaystyle \tan\alpha

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

  • יחס הדמיון – צלעות מתאימות
    a1a2=b1b2=c1c2=k\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k
  • יחס ההיקפים
    P1P2\displaystyle \frac{P_1}{P_2} =\displaystyle = k\displaystyle k
  • יחס השטחים
    S1S2\displaystyle \frac{S_1}{S_2} =\displaystyle = k2\displaystyle k^{2}
  • יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
    h1h2=m1m2=d1d2=k\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k
  • קטע אמצעים במשולש – DE\displaystyle DE מקביל ל-BC\displaystyle BC
    DE\displaystyle DE =\displaystyle = 12BC\displaystyle \frac{1}{2}BC
  • קטע אמצעים בטרפז – a\displaystyle a, b\displaystyle b הבסיסים
    EF\displaystyle EF =\displaystyle = a+b2\displaystyle \frac{a+b}{2}

טריגונומטריה

  • סינוס – a\displaystyle a הניצב מול הזווית, c\displaystyle c היתר
    sin⁡α\displaystyle \sin\alpha =\displaystyle = ac\displaystyle \frac{a}{c}
  • קוסינוס – b\displaystyle b הניצב ליד הזווית
    cos⁡α\displaystyle \cos\alpha =\displaystyle = bc\displaystyle \frac{b}{c}
  • טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
    tan⁡α\displaystyle \tan\alpha =\displaystyle = ab\displaystyle \frac{a}{b}
  • הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
    tan⁡α\displaystyle \tan\alpha =\displaystyle = sin⁡αcos⁡α\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
  • הזהות מפיתגורס
    sin⁡2α+cos⁡2α\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha =\displaystyle = 1\displaystyle 1
  • זוויות שסכומן 90∘\displaystyle 90^{\circ}
    sin⁡(90∘−α)\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha) =\displaystyle = cos⁡α\displaystyle \cos\alpha
  • cos⁡(90∘−α)\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha) =\displaystyle = sin⁡α\displaystyle \sin\alpha
  • סינוס של זווית קהה
    sin⁡(180∘−α)\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha) =\displaystyle = sin⁡α\displaystyle \sin\alpha
  • שטח משולש – γ\displaystyle \gamma הזווית שבין הצלעות a\displaystyle a ו-b\displaystyle b
    S\displaystyle S =\displaystyle = 12absin⁡γ\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma

ערכים מדויקים

  • sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
  • sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  • sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  • tan⁡30∘\displaystyle \tan30^{\circ} =\displaystyle = 33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}
  • tan⁡45∘\displaystyle \tan45^{\circ} =\displaystyle = 1\displaystyle 1
  • tan⁡60∘\displaystyle \tan60^{\circ} =\displaystyle = 3\displaystyle \sqrt{3}

קווים מיוחדים במשולש

  • מפגש התיכונים G\displaystyle G מחלק את התיכון AD\displaystyle AD ביחס 2:1\displaystyle 2:1
    AG\displaystyle AG =\displaystyle = 2GD\displaystyle 2GD
  • מפגש התיכונים במערכת צירים
    G(x1+x2+x33, y1+y2+y33)\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)
  • התיכון AD\displaystyle AD מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
    SABD\displaystyle S_{ABD} =\displaystyle = SACD\displaystyle S_{ACD}
  • משפט חוצה הזווית – AD\displaystyle AD חוצה את הזווית A\displaystyle A
    BDDC\displaystyle \frac{BD}{DC} =\displaystyle = ABAC\displaystyle \frac{AB}{AC}