דלג לתוכן

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל)

משוואת המעגל

  • משוואה קנונית – מרכז בראשית הצירים, רדיוס R\displaystyle R
    x2+y2=R2\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}
  • משוואה כללית – מרכז (a,b)\displaystyle (a,b), רדיוס R\displaystyle R
    (x−a)2+(y−b)2=R2\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}
  • המרחק בין שתי נקודות
    d\displaystyle d =\displaystyle = (x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  • אמצע קטע
    xM=x1+x22, yM=y1+y22\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}
  • ישרים מאונכים – m1\displaystyle m_1, m2\displaystyle m_2 השיפועים
    m1⋅m2\displaystyle m_1\cdot m_2 =\displaystyle = −1\displaystyle -1

זוויות ומיתרים במעגל

  • זווית היקפית – מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
    ∠ACB\displaystyle \angle ACB =\displaystyle = 12∠AOB\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB
  • מרובע חסום במעגל – סכום זוג זוויות נגדיות
    ∠A+∠C\displaystyle \angle A+\angle C =\displaystyle = 180∘\displaystyle 180^{\circ}
  • מיתר AB\displaystyle AB – d\displaystyle d המרחק של המיתר ממרכז המעגל
    (AB2)2+d2\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}+d^{2} =\displaystyle = R2\displaystyle R^{2}

משיקים

  • שני משיקים מנקודה P\displaystyle P – A\displaystyle A, B\displaystyle B נקודות ההשקה
    PA=PB\displaystyle PA=PB
  • קטע המשיק PA\displaystyle PA – O\displaystyle O מרכז המעגל
    PA2+R2\displaystyle PA^{2}+R^{2} =\displaystyle = PO2\displaystyle PO^{2}

טריגונומטריה, היקף ושטח

  • משפט הסינוסים – R\displaystyle R רדיוס המעגל החוסם את המשולש
    asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R
  • שטח משולש – γ\displaystyle \gamma הזווית שבין הצלעות a\displaystyle a ו-b\displaystyle b
    S\displaystyle S =\displaystyle = 12absin⁡γ\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma
  • שטח מקבילית – a\displaystyle a, b\displaystyle b צלעות סמוכות, α\displaystyle \alpha הזווית שביניהן
    S\displaystyle S =\displaystyle = absin⁡α\displaystyle ab\sin\alpha
  • סינוס של זווית קהה
    sin⁡(180∘−α)\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha) =\displaystyle = sin⁡α\displaystyle \sin\alpha
  • היקף המעגל
    P\displaystyle P =\displaystyle = 2πR\displaystyle 2\pi R
  • שטח העיגול
    S\displaystyle S =\displaystyle = πR2\displaystyle \pi R^{2}