דלג לתוכן

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

מבוא לגאומטריה אנליטית

  • המרחק בין הנקודות (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) ו-(x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)
    d\displaystyle d =\displaystyle = (x1−x2)2+(y1−y2)2\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}
  • אמצע הקטע
    M(x1+x22, y1+y22)\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)
  • השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
    m\displaystyle m =\displaystyle = y2−y1x2−x1\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x1≠x2\displaystyle x_1\neq x_2
  • הישר ששיפועו m\displaystyle m ועובר דרך הנקודה (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)
    y−y1\displaystyle y-y_1 =\displaystyle = m(x−x1)\displaystyle m(x-x_1)
  • משוואה מפורשת של ישר – m\displaystyle m השיפוע, b\displaystyle b נקודת החיתוך עם ציר ה-y\displaystyle y
    y=mx+b\displaystyle y=mx+b
  • משוואה כללית של ישר
    Ax+By+C=0\displaystyle Ax+By+C=0
  • ישרים מקבילים
    m1\displaystyle m_1 =\displaystyle = m2\displaystyle m_2
  • ישרים מאונכים
    m1⋅m2\displaystyle m_1\cdot m_2 =\displaystyle = −1\displaystyle -1
  • מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, R\displaystyle R הרדיוס
    x2+y2=R2\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}
  • מעגל שמרכזו (a,b)\displaystyle (a,b) ורדיוסו R\displaystyle R
    (x−a)2+(y−b)2=R2\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

  • קטע אמצעים במשולש – DE\displaystyle DE מקביל ל-BC\displaystyle BC
    DE\displaystyle DE =\displaystyle = 12BC\displaystyle \frac{1}{2}BC
  • קטע אמצעים בטרפז – a\displaystyle a, b\displaystyle b הבסיסים
    EF\displaystyle EF =\displaystyle = a+b2\displaystyle \frac{a+b}{2}
  • מפגש התיכונים G\displaystyle G מחלק את התיכון AD\displaystyle AD ביחס 2:1\displaystyle 2:1
    AG\displaystyle AG =\displaystyle = 2GD\displaystyle 2GD
  • משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול c\displaystyle c
    a2+b2=c2\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}

פרופורציה ודמיון

  • תכונה של פרופורציה
    ab=cd ⇒ a+bb=c+dd\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}
  • משפט תאלס – DE∥BC\displaystyle DE\parallel BC
    ADDB\displaystyle \frac{AD}{DB} =\displaystyle = AEEC\displaystyle \frac{AE}{EC}
  • משפט תאלס המורחב – DE∥BC\displaystyle DE\parallel BC
    ADAB=AEAC=DEBC\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}
  • משפט חוצה הזווית – AD\displaystyle AD חוצה את הזווית A\displaystyle A
    BDDC\displaystyle \frac{BD}{DC} =\displaystyle = ABAC\displaystyle \frac{AB}{AC}
  • יחס הדמיון – צלעות מתאימות
    a1a2=b1b2=c1c2=k\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k
  • גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
    h1h2=m1m2=P1P2=R1R2=r1r2=k\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k
  • יחס השטחים
    S1S2\displaystyle \frac{S_1}{S_2} =\displaystyle = k2\displaystyle k^{2}

המעגל

  • זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
    ∠ACB\displaystyle \angle ACB =\displaystyle = 12∠AOB\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB
  • זווית היקפית שנשענת על הקוטר AB\displaystyle AB
    ∠ACB=90∘\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}
  • מרובע ABCD\displaystyle ABCD חסום במעגל – זוויות נגדיות
    ∠A+∠C\displaystyle \angle A+\angle C =\displaystyle = 180∘\displaystyle 180^{\circ}
  • הזווית בין המשיק AT\displaystyle AT למיתר AB\displaystyle AB שווה לזווית היקפית שנשענת על AB\displaystyle AB מצדו השני
    ∠BAT\displaystyle \angle BAT =\displaystyle = ∠ACB\displaystyle \angle ACB
  • שני משיקים מהנקודה P\displaystyle P
    PA=PB\displaystyle PA=PB
  • מרובע ABCD\displaystyle ABCD חוסם מעגל
    AB+CD\displaystyle AB+CD =\displaystyle = BC+AD\displaystyle BC+AD
  • המיתרים AB\displaystyle AB ו-CD\displaystyle CD נחתכים בנקודה E\displaystyle E
    AE⋅EB\displaystyle AE\cdot EB =\displaystyle = CE⋅ED\displaystyle CE\cdot ED
  • שני חותכים מהנקודה P\displaystyle P
    PA⋅PB\displaystyle PA\cdot PB =\displaystyle = PC⋅PD\displaystyle PC\cdot PD
  • משיק PT\displaystyle PT וחותך PAB\displaystyle PAB מהנקודה P\displaystyle P
    PT2\displaystyle PT^{2} =\displaystyle = PA⋅PB\displaystyle PA\cdot PB