דלג לתוכן

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל)

התיבה והקובייה

  • נפח התיבה – a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c שלושת המימדים
    V\displaystyle V =\displaystyle = abc\displaystyle abc
  • שטח הפנים של התיבה – שלושה זוגות של פאות שוות
    S\displaystyle S =\displaystyle = 2(ab+ac+bc)\displaystyle 2(ab+ac+bc)
  • נפח הקובייה – a\displaystyle a המקצוע
    V\displaystyle V =\displaystyle = a3\displaystyle a^3
  • שטח הפנים של הקובייה – שש פאות ריבועיות
    S\displaystyle S =\displaystyle = 6a2\displaystyle 6a^2

המנסרה

  • נפח המנסרה – B\displaystyle B שטח הבסיס, h\displaystyle h הגובה (המרחק בין הבסיסים)
    V\displaystyle V =\displaystyle = B⋅h\displaystyle B\cdot h
  • שטח המעטפת – P\displaystyle P ההיקף של הבסיס
    M\displaystyle M =\displaystyle = P⋅h\displaystyle P\cdot h
  • שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
    S\displaystyle S =\displaystyle = 2B+M\displaystyle 2B+M

הגליל

  • נפח הגליל – r\displaystyle r רדיוס הבסיס, h\displaystyle h הגובה
    V\displaystyle V =\displaystyle = πr2h\displaystyle \pi r^2h
  • שטח המעטפת – מלבן שאורכו היקף הבסיס
    M\displaystyle M =\displaystyle = 2πrh\displaystyle 2\pi rh
  • שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
    S\displaystyle S =\displaystyle = 2πr2+2πrh\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh

הפירמידה והחרוט

  • נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
    V\displaystyle V =\displaystyle = B⋅h3\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}
  • בפירמידה ריבועית – k\displaystyle k הגובה של פאה צדדית, h\displaystyle h גובה הפירמידה, a\displaystyle a צלע הבסיס
    k2\displaystyle k^2 =\displaystyle = h2+(a2)2\displaystyle h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2
  • שטח הפנים של פירמידה ריבועית – הבסיס וארבעה משולשים
    S\displaystyle S =\displaystyle = a2+2ak\displaystyle a^2+2ak
  • נפח החרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
    V\displaystyle V =\displaystyle = πr2h3\displaystyle \frac{\pi r^2h}{3}
  • הקו היוצר l\displaystyle l – היתר במשולש שהניצבים שלו הרדיוס r\displaystyle r והגובה h\displaystyle h
    l2\displaystyle l^2 =\displaystyle = r2+h2\displaystyle r^2+h^2
  • שטח המעטפת של החרוט
    M\displaystyle M =\displaystyle = πrl\displaystyle \pi rl
  • שטח הפנים של החרוט – הבסיס והמעטפת
    S\displaystyle S =\displaystyle = πr2+πrl\displaystyle \pi r^2+\pi rl

הכדור

  • נפח הכדור – r\displaystyle r הרדיוס
    V\displaystyle V =\displaystyle = 4πr33\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}
  • שטח הפנים של הכדור
    S\displaystyle S =\displaystyle = 4πr2\displaystyle 4\pi r^2

אלכסונים ומרחקים

  • אלכסון התיבה d\displaystyle d – a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c שלושת המימדים
    d2\displaystyle d^2 =\displaystyle = a2+b2+c2\displaystyle a^2+b^2+c^2
  • אלכסון הקובייה – a\displaystyle a המקצוע
    d\displaystyle d =\displaystyle = a3\displaystyle a\sqrt{3}
  • בפירמידה ריבועית – s\displaystyle s מקצוע צדדי, h\displaystyle h הגובה, a\displaystyle a צלע הבסיס
    s2\displaystyle s^2 =\displaystyle = h2+a22\displaystyle h^2+\frac{a^2}{2}

טריגונומטריה במשולש ישר זווית

  • a\displaystyle a הניצב שמול הזווית α\displaystyle \alpha, c\displaystyle c היתר
    sin⁡α\displaystyle \sin\alpha =\displaystyle = ac\displaystyle \frac{a}{c}
  • b\displaystyle b הניצב שליד הזווית α\displaystyle \alpha
    cos⁡α\displaystyle \cos\alpha =\displaystyle = bc\displaystyle \frac{b}{c}
  • הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
    tan⁡α\displaystyle \tan\alpha =\displaystyle = ab\displaystyle \frac{a}{b}
  • הזווית, כשידועים שני הניצבים
    α=tan⁡−1(ab)\displaystyle \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)

המסלול הקצר ביותר על פני תיבה

  • מסלול מקודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו, על פני שתי פאות: אחרי הפריסה, האלכסון של מלבן שהצלעות שלו a+b\displaystyle a+b ו-c\displaystyle c
    p2\displaystyle p^2 =\displaystyle = (a+b)2+c2\displaystyle (a+b)^2+c^2