דלג לתוכן

נוסחאות: הסתברות, כיתה י"א (5 יח"ל)

כללי ההסתברות

  • תוצאות שוות הסתברות – k\displaystyle k מספר התוצאות במאורע A\displaystyle A, n\displaystyle n מספר התוצאות במרחב המדגם
    P(A)=kn\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}
  • ההסתברות של כל מאורע; P(∅)=0\displaystyle {P(\emptyset)}={0}, ו-P(U)=1\displaystyle {P(U)}={1} למרחב המדגם U\displaystyle U
    0≤P(A)≤1\displaystyle 0\le P(A)\le1
  • מאורע שמוכל במאורע אחר
    P(A)≤P(B)\displaystyle P(A)\le P(B)A⊆B\displaystyle A\subseteq B
  • המאורע המשלים A‾\displaystyle \overline{A} – A\displaystyle A לא קורה
    P(A‾)\displaystyle P(\overline{A}) =\displaystyle = 1−P(A)\displaystyle 1-P(A)
  • איחוד – A\displaystyle A או B\displaystyle B (או שניהם); A∩B\displaystyle A\cap B – החיתוך, גם A\displaystyle A וגם B\displaystyle B
    P(A∪B)\displaystyle P(A\cup B) =\displaystyle = P(A)+P(B)−P(A∩B)\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)
  • מאורעות זרים – לאף שניים מהם אין תוצאה משותפת
    P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)\displaystyle P(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_n)

הסתברות מותנית ואי־תלות

  • ההסתברות של A\displaystyle A בהינתן B\displaystyle B
    P(A/B)=P(A∩B)P(B)\displaystyle P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
  • מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
    P(A∩B)\displaystyle P(A\cap B) =\displaystyle = P(B)⋅P(A/B)\displaystyle P(B)\cdot P(A/B)
  • מאורעות בלתי תלויים
    P(A∩B)\displaystyle P(A\cap B) =\displaystyle = P(A)⋅P(B)\displaystyle P(A)\cdot P(B)
  • מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש-B\displaystyle B קרה לא משנה את ההסתברות של A\displaystyle A
    P(A/B)\displaystyle P(A/B) =\displaystyle = P(A)\displaystyle P(A)
  • נוסחת ההסתברות השלמה – סכום המסלולים שמסתיימים ב-A\displaystyle A
    P(A)=P(B)⋅P(A/B)+P(B‾)⋅P(A/B‾)\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A/B)+P(\overline{B})\cdot P(A/\overline{B})

ספירה ונוסחת ברנולי

  • n\displaystyle n עצרת; 0!=1\displaystyle {0!}={1}
    n!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅n\displaystyle n!=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n
  • בחירה סדורה – k\displaystyle k עצמים שונים מתוך n\displaystyle n, בזה אחר זה
    n⋅(n−1)⋅⋯⋅(n−k+1)=n!(n−k)!\displaystyle n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}
  • המקדם הבינומי – מספר הדרכים לבחור k\displaystyle k עצמים מתוך n\displaystyle n, בלי חשיבות לסדר
    (nk)=n!k!(n−k)!\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
  • נוסחת ברנולי – ההסתברות ל-k\displaystyle k הצלחות ב-n\displaystyle n ניסויים בלתי תלויים, כשההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא p\displaystyle p
    Pn(k)=(nk)pk(1−p)n−k\displaystyle P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
  • לפחות הצלחה אחת ב-n\displaystyle n ניסויים – בעזרת המאורע המשלים
    1−Pn(0)=1−(1−p)n\displaystyle 1-P_n(0)=1-(1-p)^n