דלג לתוכן

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

סדרה וסכום האיברים הראשונים

  • האיבר מהסכום – Sn\displaystyle S_n סכום n\displaystyle n האיברים הראשונים
    an\displaystyle a_n =\displaystyle = Sn−Sn−1\displaystyle S_n-S_{n-1}n≥2\displaystyle n\geq2
  • האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
    a1\displaystyle a_1 =\displaystyle = S1\displaystyle S_1

סדרה חשבונית

  • כלל הנסיגה – d\displaystyle d הפרש הסדרה
    an+1=an+d\displaystyle a_{n+1}=a_n+d
  • האיבר הכללי
    an\displaystyle a_n =\displaystyle = a1+(n−1)d\displaystyle a_1+(n-1)d
  • הממוצע החשבוני של השכנים
    an\displaystyle a_n =\displaystyle = an−1+an+12\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}n≥2\displaystyle n\geq2
  • סכום n\displaystyle n האיברים הראשונים
    Sn\displaystyle S_n =\displaystyle = n(a1+an)2\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}
  • הסכום בלי האיבר האחרון
    Sn\displaystyle S_n =\displaystyle = n[2a1+(n−1)d]2\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}

סדרה הנדסית

  • כלל הנסיגה – q\displaystyle q מנת הסדרה
    an+1=an⋅q\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q
  • האיבר הכללי
    an\displaystyle a_n =\displaystyle = a1⋅qn−1\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}
  • הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
    an2\displaystyle a_n^2 =\displaystyle = an−1⋅an+1\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}n≥2\displaystyle n\geq2
  • סכום n\displaystyle n האיברים הראשונים
    Sn\displaystyle S_n =\displaystyle = a1(qn−1)q−1\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}q≠1\displaystyle q\neq1

סדרה הנדסית אינסופית

  • סכום הסדרה המתכנסת
    S\displaystyle S =\displaystyle = a11−q\displaystyle \frac{a_1}{1-q}−1<q<1, q≠0\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0

חוקי החזקות

  • מכפלת חזקות עם אותו בסיס
    am⋅an\displaystyle a^m\cdot a^n =\displaystyle = am+n\displaystyle a^{m+n}
  • מנת חזקות עם אותו בסיס
    aman\displaystyle \frac{a^m}{a^n} =\displaystyle = am−n\displaystyle a^{m-n}a≠0\displaystyle a\neq0
  • חזקה של חזקה
    (am)n\displaystyle \left(a^m\right)^n =\displaystyle = amn\displaystyle a^{mn}
  • חזקה עם מעריך 0
    a0\displaystyle a^0 =\displaystyle = 1\displaystyle 1a≠0\displaystyle a\neq0
  • חזקה עם מעריך שלילי
    a−n\displaystyle a^{-n} =\displaystyle = 1an\displaystyle \frac{1}{a^n}a≠0\displaystyle a\neq0

סכומים שהוכחו באינדוקציה

  • סכום המספרים הטבעיים
    1+2+3+…+n\displaystyle 1+2+3+\ldots+n =\displaystyle = n(n+1)2\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}
  • סכום המספרים האי־זוגיים
    1+3+5+…+(2n−1)\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1) =\displaystyle = n2\displaystyle n^2
  • סכום הריבועים
    12+22+32+…+n2\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 =\displaystyle = n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • סכום החזקות השלישיות
    13+23+33+…+n3\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3 =\displaystyle = n2(n+1)24\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}