נקודת האיזון

כלכלה ופיננסים, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 9 מתוך 15לימוד

נקודת האיזון

הוצאות קבועות ועלות ליחידה

לרוב העסקים יש שני סוגים של הוצאות: הוצאות קבועות, שמשלמים גם אם לא מוכרים כלום, ועלות ליחידה, שמשלמים על כל יחידה שמייצרים.

יואב פותח דוכן מיצים ביריד של בית הספר.
ההשכרה של הדוכן והבלנדר עולה 600 ₪.
הפירות והכוס של כל מיץ עולים 4 ₪.
יואב מוכר כל כוס מיץ ב-10 ₪.

כש- $\displaystyle x$ הוא מספר הכוסות שיואב מוכר:

העלות הכוללת: $\displaystyle {C}={600+4x}$ – מודל קווי: עלות קבועה ועלות ליחידה.
ההכנסה: $\displaystyle {R}={10x}$ .

\displaystyle C=F+c\cdot x

$\displaystyle F$ – ההוצאות הקבועות, $\displaystyle c$ – העלות של יחידה.

העלות וההכנסה על גרף

על הגרף, $\displaystyle x$ הוא מספר הכוסות ו- $\displaystyle y$ השקלים: ההכנסה $\displaystyle {y}={10x}$ , והעלות $\displaystyle {y}={4x+600}$ (המקווקו).

\displaystyle y=10x

\displaystyle y=4x+600

\displaystyle A=(100,1000)

הישר של העלות מתחיל ב-600: את ההוצאות הקבועות משלמים גם על 0 כוסות.
הישר של ההכנסה מתחיל ב-0, אבל עולה מהר יותר: השיפוע שלו 10, ושל העלות 4.
משמאל לנקודה $\displaystyle A$ העלות גבוהה מההכנסה – הפסד. מימין לה ההכנסה גבוהה – רווח.
בנקודה $\displaystyle A$ , ב-100 כוסות, ההכנסה והעלות שוות, 1000 ₪: אין רווח ואין הפסד.

הנקודה הזו היא נקודת האיזון: מספר היחידות שבו ההכנסה שווה לעלות.

נקודת האיזון במשוואה

בנקודת האיזון ההכנסה שווה לעלות, ולכן מוצאים אותה במשוואה.

\displaystyle s\cdot x

\displaystyle =

\displaystyle F+c\cdot x

בדוכן של יואב:

10x=600+4x

נחסר $\displaystyle 4x$ משני האגפים: $\displaystyle {6x}={600}$ .
נחלק ב-6: $\displaystyle {x}={100}$ כוסות.

על כל כוס יואב מקבל 10 ₪ ומוציא 4 ₪, ולכן כל כוס מכסה 6 ₪ מההוצאות הקבועות. כדי לכסות 600 ₪ צריך $\displaystyle {600:6}={100}$ כוסות.

הרווח כישר

גם הרווח הוא מודל קווי: ההכנסה פחות העלות.

P=10x-(600+4x)=6x-600

\displaystyle y=6x-600

\displaystyle A=(100,0)

השיפוע, 6, הוא הרווח מכל כוס נוספת.
ב-0 כוסות הרווח הוא $\displaystyle -600$ : הפסד של כל ההוצאות הקבועות.
הישר חותך את ציר $\displaystyle x$ בנקודת האיזון, ב-100 כוסות.
ב-150 כוסות: $\displaystyle {6\times150-600}={300}$ ₪ רווח.

תרגיל 1

ליאת מדפיסה חולצות עם ציורים שלה.
מכונת ההדפסה עלתה 2400 ₪.
החולצה והצבע עולים 15 ₪ לכל חולצה.
ליאת מוכרת כל חולצה ב-45 ₪.
על הגרף, $\displaystyle x$ הוא מספר החולצות; ההכנסה $\displaystyle {y}={45x}$ , והעלות $\displaystyle {y}={15x+2400}$ (המקווקו).
סמנו על הגרף את נקודת האיזון.
פתרו את המשוואה, ובדקו שקיבלתם את הנקודה שסימנתם.

\displaystyle y=45x

\displaystyle y=15x+2400

תרגיל 2

ליאת רוצה להרוויח 1500 ₪.
הרווח שלה הוא $\displaystyle {45x-(2400+15x)}={30x-2400}$ .
כתבו משוואה ופתרו אותה: כמה חולצות עליה למכור?

תרגיל 3

שכבה י’ מעלה הצגה.
השכרת האולם והתלבושות עולות יחד 4500 ₪.
על כל צופה מדפיסים תוכנייה, ב-2 ₪.
כרטיס להצגה עולה 20 ₪.

כמה כרטיסים צריך למכור כדי להגיע לנקודת האיזון?

באולם יש רק 200 מקומות. מה המחיר של כרטיס, שבו 200 צופים מביאים בדיוק לנקודת האיזון?

תרגיל 4

בית קפה מוכר כריך ב-28 ₪.
ההוצאות הקבועות של בית הקפה הן 3600 ₪ בחודש, והכנת כריך עולה 12 ₪.
$\displaystyle x$ הוא מספר הכריכים בחודש.
כתבו על הגרף את הנוסחה של ההכנסה ואת הנוסחה של העלות.
כתבו משוואה ופתרו אותה: כמה כריכים בחודש הם נקודת האיזון?
בית הקפה מוכר בערך 300 כריכים בחודש. כמה הוא מרוויח?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

נוסחאות: כלכלה ופיננסים, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

קנייה ומכירה

מחיר ליחידה – $\displaystyle P$ המחיר של האריזה, $\displaystyle n$ מספר היחידות בה (גרמים, ליטרים, פריטים)
$\displaystyle u=\frac{P}{n}$
הנחה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ המחיר לפני ההנחה, $\displaystyle b$ המחיר אחריה
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%-p\%)\cdot a$
מחיר עם מע"מ של 18% – $\displaystyle a$ המחיר בלי מע"מ, $\displaystyle b$ המחיר עם מע"מ
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1.18\cdot a$

מודל קווי

עלות כוללת – $\displaystyle x$ מספר היחידות, $\displaystyle m$ העלות ליחידה (השיפוע), $\displaystyle b$ העלות הקבועה
$\displaystyle y=mx+b$
העלות ליחידה משתי נקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ , $\displaystyle (x_2,y_2)$ על הישר
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
שתי תוכניות עולות אותו מחיר – נקודת החיתוך של שני הישרים
$\displaystyle m_1x+b_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2x+b_2$

רווח והפסד

העלות הכוללת – $\displaystyle F$ ההוצאות הקבועות, $\displaystyle c$ העלות של יחידה, $\displaystyle x$ מספר היחידות
$\displaystyle C=F+c\cdot x$
ההכנסה – $\displaystyle s$ מחיר המכירה של יחידה
$\displaystyle R=s\cdot x$
הרווח – ההכנסה פחות העלות (רווח שלילי הוא הפסד)
$\displaystyle P=R-C$
אחוז הרווח – מתוך העלות
$\displaystyle r\%=\frac{P}{C}$
נקודת האיזון – ההכנסה שווה לעלות
$\displaystyle s\cdot x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F+c\cdot x$

שכר עבודה

שכר – $\displaystyle w$ השכר לשעה, $\displaystyle h$ מספר השעות
$\displaystyle S=w\cdot h$
שכר לשעה נוספת, בשתי השעות הנוספות הראשונות ביום
$\displaystyle 1.25\cdot w$
שכר לשעה נוספת, מהשעה הנוספת השלישית ביום
$\displaystyle 1.5\cdot w$
שכר נטו – $\displaystyle G$ השכר ברוטו, $\displaystyle D$ הניכויים
$\displaystyle N=G-D$

מדדי מרכז

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_i$ השכיחות של הערך $\displaystyle x_i$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
המקום של החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$