ממוצע וחציון בנתונים כלכליים

כלכלה ופיננסים, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 13 מתוך 15לימוד

ממוצע וחציון בנתונים כלכליים

משכורת אחת גבוהה מאוד

בחברה קטנה עובדים 8 אנשים.
אלה המשכורות שלהם בחודש, בשקלים, מהנמוכה לגבוהה – האחרונה היא של המנהל:
$\displaystyle 6000, 6500, 7000, 7000, 7500, 8000, 9000, 37000$

הממוצע: $\displaystyle {\frac{88000}{8}}={11000}$ ₪.
החציון: באמצע שני נתונים, הרביעי והחמישי, ולכן $\displaystyle {\frac{7000+7500}{2}}={7250}$ ₪.

המשכורת של המנהל היא ערך חריג: היא מושכת את הממוצע למעלה, ו-7 מתוך 8 העובדים מרוויחים פחות מהממוצע. החציון כמעט לא זז בגללה: אם המנהל היה מרוויח 12000 ₪, החציון היה נשאר 7250 ₪.

איזה מדד מרכז מתאר שכר

שני מדדי המרכז עונים על שתי שאלות שונות:

הממוצע – כמה היה מקבל כל עובד, אילו מחלקים את כל המשכורות שווה בשווה. הוא מתאים לשאלה כמה כסף יוצא על משכורות: $\displaystyle {8\cdot11000}={88000}$ ₪ בחודש.
החציון – מחצית מהעובדים מרוויחים פחות ממנו או בדיוק אותו, ומחצית יותר. הוא מתאים לשאלה כמה מרוויח עובד רגיל.

בשכר יש בדרך כלל מעט משכורות גבוהות מאוד, ולכן החציון נמוך מהממוצע. כשבחדשות מדווחים על “השכר הממוצע במשק”, רוב העובדים מרוויחים פחות ממנו.

תרגיל 1

במוסך עובדים 9 אנשים.
אלה המשכורות שלהם בחודש, בשקלים:
$\displaystyle 6000, 6200, 6500, 6500, 7000, 7300, 8000, 9500, 24000$

חשבו את המשכורת הממוצעת.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מצאו את החציון של המשכורות.

עובד חדש שואל כמה מרוויחים במוסך.
איזה מדד מרכז מתאר את זה טוב יותר? הסבירו.

ממוצע מטבלת שכיחויות

ברשת חנויות שאלו 20 עובדים צעירים כמה הם מקבלים לשעה:

שכר לשעה (₪)	35	40	45	60
מספר עובדים	10	6	3	1

בטבלת שכיחויות כופלים כל ערך בשכיחות שלו, מחברים, ומחלקים במספר הנתונים:

\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}

\bar{x}=\frac{35\cdot10+40\cdot6+45\cdot3+60\cdot1}{20}=\frac{785}{20}=39.25

הממוצע: 39.25 ₪ לשעה.
החציון: 20 נתונים, ולכן הוא הממוצע של הנתון ה-10 ושל הנתון ה-11. הנתונים 1–10 הם 35, והנתון ה-11 הוא 40: $\displaystyle {\frac{35+40}{2}}={37.5}$ ₪.
השכיח: 35 ₪ – השכר של מחצית מהעובדים.

תרגיל 2

בסקר שאלו 20 עובדים צעירים מה המשכורת החודשית שלהם:

משכורת (₪)	4000	5000	6000	8000
מספר עובדים	5	8	4	3

חשבו את המשכורת הממוצעת.

מצאו את החציון של המשכורות.

מחירים לאורך זמן

דיאגרמת קו מראה איך מחיר משתנה מחודש לחודש.
זה המחיר של קילוגרם עגבניות בחנות ירקות, בחצי השנה הראשונה:

המחיר הגבוה ביותר היה במרץ, 9 ₪, והנמוך ביותר בינואר וביוני, 5 ₪.
העלייה הגדולה ביותר: מפברואר למרץ, מ-6 ₪ ל-9 ₪ – עלייה של $\displaystyle {\frac{3}{6}}={50\%}$ .
המחיר הממוצע בחצי השנה: $\displaystyle {\frac{5+6+9+8+6+5}{6}}={\frac{39}{6}}={6.5}$ ₪.

תרגיל 3

זה המחיר של ליטר בנזין בתחנת דלק, בחצי השנה הראשונה:

באיזה חודש המחיר היה הגבוה ביותר?

חשבו את המחיר הממוצע לליטר בחצי השנה.

רון ממלא בכל פעם 40 ליטרים.
בכמה שקלים יקר יותר מילוי במרץ ממילוי בינואר?

ציר שלא מתחיל ב-0

המחיר החודשי של תוכנית סלולר בחברה אחת, לאורך ארבע שנים:

זו אותה דיאגרמה, אבל הציר שלה מתחיל ב-49:

בשתי הדיאגרמות אותם נתונים: המחיר עלה מ-50 ₪ ל-54 ₪, עלייה של $\displaystyle {\frac{4}{50}}={8\%}$ .
בדיאגרמה השנייה העמודה של 2024 גבוהה פי 5 מהעמודה של 2021, כי רואים רק את החלק שמעל 49.
לפני שמסיקים מסקנה מדיאגרמה, בודקים איפה מתחיל הציר.

תרגיל 4

בפרסומת של חברת אינטרנט כתוב: “מספר הלקוחות שלנו גדל פי 6!”
ליד המשפט מופיעה הדיאגרמה הזאת:

בכמה אחוזים גדל מספר הלקוחות מ-2022 עד 2024?

למה בדיאגרמה נראה שהמספר גדל פי 6?

נוסחאות: כלכלה ופיננסים, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

קנייה ומכירה

מחיר ליחידה – $\displaystyle P$ המחיר של האריזה, $\displaystyle n$ מספר היחידות בה (גרמים, ליטרים, פריטים)
$\displaystyle u=\frac{P}{n}$
הנחה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ המחיר לפני ההנחה, $\displaystyle b$ המחיר אחריה
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%-p\%)\cdot a$
מחיר עם מע"מ של 18% – $\displaystyle a$ המחיר בלי מע"מ, $\displaystyle b$ המחיר עם מע"מ
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1.18\cdot a$

מודל קווי

עלות כוללת – $\displaystyle x$ מספר היחידות, $\displaystyle m$ העלות ליחידה (השיפוע), $\displaystyle b$ העלות הקבועה
$\displaystyle y=mx+b$
העלות ליחידה משתי נקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ , $\displaystyle (x_2,y_2)$ על הישר
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
שתי תוכניות עולות אותו מחיר – נקודת החיתוך של שני הישרים
$\displaystyle m_1x+b_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2x+b_2$

רווח והפסד

העלות הכוללת – $\displaystyle F$ ההוצאות הקבועות, $\displaystyle c$ העלות של יחידה, $\displaystyle x$ מספר היחידות
$\displaystyle C=F+c\cdot x$
ההכנסה – $\displaystyle s$ מחיר המכירה של יחידה
$\displaystyle R=s\cdot x$
הרווח – ההכנסה פחות העלות (רווח שלילי הוא הפסד)
$\displaystyle P=R-C$
אחוז הרווח – מתוך העלות
$\displaystyle r\%=\frac{P}{C}$
נקודת האיזון – ההכנסה שווה לעלות
$\displaystyle s\cdot x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F+c\cdot x$

שכר עבודה

שכר – $\displaystyle w$ השכר לשעה, $\displaystyle h$ מספר השעות
$\displaystyle S=w\cdot h$
שכר לשעה נוספת, בשתי השעות הנוספות הראשונות ביום
$\displaystyle 1.25\cdot w$
שכר לשעה נוספת, מהשעה הנוספת השלישית ביום
$\displaystyle 1.5\cdot w$
שכר נטו – $\displaystyle G$ השכר ברוטו, $\displaystyle D$ הניכויים
$\displaystyle N=G-D$

מדדי מרכז

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_i$ השכיחות של הערך $\displaystyle x_i$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
המקום של החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$