עשירונים ואחוזונים

כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 12 מתוך 14לימוד

עשירונים ואחוזונים

עשירונים

עשירונים מחלקים קבוצה גדולה, מסודרת לפי גודל, לעשר קבוצות שוות, ובכל אחת 10% מהנתונים.

כך מתארים בחדשות את ההכנסות במדינה: מסדרים את כל משקי הבית (המשפחות, או אנשים שגרים לבד) לפי ההכנסה שלהם, ומחלקים לעשרה.

העשירון התחתון (עשירון 1) – 10% משקי הבית עם ההכנסה הנמוכה ביותר.
העשירון העליון (עשירון 10) – 10% משקי הבית עם ההכנסה הגבוהה ביותר.

ההכנסה הממוצעת לפי עשירונים

ההכנסה הממוצעת של משק בית בכל עשירון, נטו לחודש (נתונים לדוגמה, מעוגלים):

ההכנסה עולה לאט מעשירון לעשירון, וקופצת בעשירון העליון: מ-26.5 אלף ₪ ל-42 אלף ₪.

הפער בין העשירונים

את אי־השוויון בהכנסות מודדים במספר: פי כמה ההכנסה הממוצעת בעשירון העליון גדולה מזו שבעשירון התחתון.

\displaystyle \frac{\bar{x}_{10}}{\bar{x}_{1}}

בדוגמה: $\displaystyle {\frac{42}{4.2}}={10}$ – משק בית בעשירון העליון מכניס בממוצע פי 10 ממשק בית בעשירון התחתון.

החלק של העשירון העליון בכל ההכנסות

בכל עשירון יש אותו מספר של משקי בית, ולכן החלק של עשירון בכל ההכנסות הוא הממוצע שלו חלקי סכום הממוצעים של כל העשירונים.

סכום הממוצעים: $\displaystyle {4.2+6.8+8.9+10.9+13+15.3+18+21.5+26.5+42}={167.1}$ אלף ₪.
החלק של העשירון העליון: $\displaystyle \frac{42}{167.1}\approx0.251$ – כרבע מכל ההכנסות, אצל עשירית ממשקי הבית.

עשירונים בקבוצה קטנה

גם בקבוצה קטנה כל עשירון הוא עשירית מהאנשים.

בחברה עובדים 40 עובדים, ולכן בכל עשירון 4 עובדים.
העשירון העליון הוא ארבעת העובדים שמרוויחים הכי הרבה.
המשכורות שלהם, בשקלים: $\displaystyle 18500,\ 21000,\ 24000,\ 32500$

המשכורת הממוצעת בעשירון העליון: $\displaystyle {\frac{18500+21000+24000+32500}{4}}={24000}$ ₪.

אחוזונים

אחוזונים מחלקים את הנתונים המסודרים למאה חלקים. נתון באחוזון $\displaystyle k$ גדול מ- $\displaystyle k$ אחוזים מהנתונים.

משקל של תינוק באחוזון 75: 75% מהתינוקות בגיל שלו שוקלים פחות ממנו.
ציון פסיכומטרי באחוזון 80: 80% מהנבחנים קיבלו ציון נמוך יותר. זה לא אומר שהנבחן ענה נכון על 80% מהשאלות.

רבעונים, עשירונים ואחוזונים

רבעונים, עשירונים ואחוזונים הם אותו רעיון בחלוקות שונות:

$\displaystyle Q_1$ – האחוזון ה-25.
החציון – האחוזון ה-50, הגבול בין עשירון 5 לעשירון 6.
$\displaystyle Q_3$ – האחוזון ה-75.
העשירון העליון – הנתונים שמעל האחוזון ה-90.

תרגיל 1

ההכנסה הממוצעת של משק בית בכל עשירון בעיר, באלפי שקלים לחודש:

עשירון	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
הכנסה	3.5	6	8	10	12	14	17	20	25	38.5

פי כמה ההכנסה בעשירון העליון גדולה מההכנסה בעשירון התחתון?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כמה אחוזים מכל ההכנסות בעיר מקבל העשירון העליון?

בעיתון נכתב: “העשירון העליון מרוויח פי 11 מכל השאר”. מה הטעות?

תרגיל 2

ברשת חנויות עובדים 50 עובדים.

כמה עובדים יש בכל עשירון?

המשכורות של העובדים בעשירון העליון, בשקלים:
$\displaystyle 19000,\ 22000,\ 23500,\ 26000,\ 34500$
חשבו את המשכורת הממוצעת בעשירון העליון.

תרגיל 3

הציון של נועה בבחינה הפסיכומטרית נמצא באחוזון 85.

כמה אחוזים מהנבחנים קיבלו ציון גבוה משלה?

חבר שלה אומר: “נועה ענתה נכון על 85% מהשאלות”. האם הוא צודק? הסבירו.

תרגיל 4

תינוקת בת חצי שנה שוקלת 7.2 ק"ג, וזה המשקל באחוזון 40 בגיל שלה.

מתוך 1,000 תינוקות בני חצי שנה, בערך כמה שוקלים פחות ממנה?

האם המשקל שלה מעל החציון או מתחתיו? בין אילו רבעונים הוא נמצא?

נוסחאות: כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

ריבית פשוטה – $\displaystyle A_0$ הקרן, $\displaystyle p$ שיעור הריבית לשנה באחוזים, $\displaystyle n$ מספר השנים, $\displaystyle A$ הסכום בסוף
$\displaystyle A=A_0+n\cdot A_0\cdot\frac{p}{100}$
גורם הגדילה – עלייה של $\displaystyle p$ אחוזים
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – ירידה של $\displaystyle p$ אחוזים
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
גדילה ודעיכה – $\displaystyle A_0$ הערך בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם לתקופה, $\displaystyle n$ מספר התקופות, $\displaystyle A$ הערך בסוף
$\displaystyle A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_0\cdot q^{n}$
הגורם של שני שינויים בזה אחר זה
$\displaystyle q_1\cdot q_2$
הערך היום של סכום $\displaystyle A$ בעוד $\displaystyle n$ שנים, כשהמחירים עולים פי $\displaystyle q$ בכל שנה
$\displaystyle \frac{A}{q^{n}}$
כלל 72 – מספר השנים בערך עד שסכום מוכפל, בגדילה של $\displaystyle p$ אחוזים לשנה
$\displaystyle n\approx\frac{72}{p}$

ממוצע ופיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
השונות – ממוצע הריבועים של הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^{2}=\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}}{n}$
סטיית התקן
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}$

רבעונים ועשירונים

מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
הטווח הבין־רבעוני – $\displaystyle Q_1$ הרבעון התחתון, $\displaystyle Q_3$ הרבעון העליון
$\displaystyle Q_3-Q_1$
הפער בין העשירון העליון לתחתון – פי כמה ההכנסה הממוצעת בעשירון 10 גדולה מזו שבעשירון 1
$\displaystyle \frac{\bar{x}_{10}}{\bar{x}_{1}}$