דלג לתוכן

מציאת מספר השנים

כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 7 מתוך 14לימוד

מציאת מספר השנים

ניסוי של ערכים

כשהשאלה היא “אחרי כמה שנים?”, הנעלם n\displaystyle n נמצא במעריך. מוצאים אותו בניסוי: מחשבים את הערך לכמה מספרים של שנים, עד שעוברים את הסכום.

שקד הפקידה 10,000 ₪ בריבית דריבית של 5% לשנה.
אחרי כמה שנים יהיו בפיקדון יותר מ-15,000 ₪?

שניםהסכום בפיקדון
710000⋅1.057≈14071.00\displaystyle 10000\cdot1.05^{7}\approx14071.00
810000⋅1.058≈14774.55\displaystyle 10000\cdot1.05^{8}\approx14774.55
910000⋅1.059≈15513.28\displaystyle 10000\cdot1.05^{9}\approx15513.28

אחרי 8 שנים עוד אין 15,000 ₪, ואחרי 9 שנים כבר יש: התשובה – 9 שנים.

מספר השנים בלוח הגרפים

על הגרף, הסכום 15,000 ₪ הוא הקו הישר y=15000\displaystyle {y}={15000}. הנקודה שבה הגרף של הפיקדון חותך אותו נותנת את מספר השנים.

y=10000⋅1.05x\displaystyle y=10000\cdot1.05^{x}
y=15000\displaystyle y=15000
A=(8.31,15000)\displaystyle A=(8.31,15000)
  • הגרפים נפגשים כש-x≈8.3\displaystyle x\approx8.3.
  • הריבית מצטרפת לפיקדון רק בסוף כל שנה, ולכן הסכום עובר את 15,000 ₪ בסוף השנה התשיעית.
מתי הערך יורד לחצי

בדעיכה מחפשים באותה דרך מתי הערך יורד מתחת לסכום.

מכונית שעלתה 100,000 ₪ מאבדת 15% מהערך שלה בכל שנה.
מתי היא תהיה שווה פחות מחצי מהמחיר?

  • אחרי 4 שנים: 100000⋅0.854≈52200.63\displaystyle 100000\cdot0.85^{4}\approx52200.63 ₪ – עוד יותר מחצי.
  • אחרי 5 שנים: 100000⋅0.855≈44370.53\displaystyle 100000\cdot0.85^{5}\approx44370.53 ₪ – כבר פחות מחצי.
כלל 72: זמן ההכפלה

כלל 72 נותן הערכה מהירה לזמן שבו סכום מוכפל, בגדילה של p\displaystyle p אחוזים לשנה:

n≈72p\displaystyle n\approx\frac{72}{p}
  • ב-6% לשנה: 726=12\displaystyle {\frac{72}{6}}={12} שנים. בדיקה: 1.0612≈2.01\displaystyle 1.06^{12}\approx2.01.
  • ב-4% לשנה: 724=18\displaystyle {\frac{72}{4}}={18} שנים. בדיקה: 1.0418≈2.03\displaystyle 1.04^{18}\approx2.03.

ההערכה טובה לאחוזים קטנים – עד 10% בערך.

תרגיל 1

אלון הפקיד 4,000 ₪ בריבית דריבית של 8% לשנה.
הוא רוצה לדעת אחרי כמה שנים יהיו לו לפחות 6,000 ₪.

א

חשבו את הסכום אחרי 5 שנים. עגלו לאגורות.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    חשבו את הסכום אחרי 6 שנים. עגלו לאגורות.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      אחרי כמה שנים יהיו לאלון לפחות 6,000 ₪?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        קורקינט חשמלי נקנה ב-2,000 ₪, והערך שלו יורד ב-10% בכל שנה.
        על הלוח: הגרף של הערך שלו, והקו y=1000\displaystyle {y}={1000}.
        סמנו את הנקודה שבה הגרפים נפגשים.

        y=2000⋅0.9x\displaystyle y=2000\cdot0.9^{x}
        y=1000\displaystyle y=1000

        א

        אחרי כמה שנים שלמות יהיה הקורקינט שווה פחות מחצי מהמחיר? בדקו בחישוב.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            קרן השתלמות נותנת תשואה של 9% לשנה, בריבית דריבית.

            א

            לפי כלל 72, בערך אחרי כמה שנים הכסף בקרן יוכפל?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              בדקו: פי כמה גדל הכסף במספר השנים שמצאתם? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 4

                10,000 ₪ בפיקדון:
                הצעה א’ – ריבית פשוטה של 6% לשנה: y=10000+600x\displaystyle {y}={10000+600x}.
                הצעה ב’ – ריבית דריבית של 5% לשנה: y=10000⋅1.05x\displaystyle {y}={10000\cdot1.05^{x}}.
                סמנו את הנקודות שבהן הגרפים נפגשים.

                y=10000+600x\displaystyle y=10000+600x
                y=10000⋅1.05x\displaystyle y=10000\cdot1.05^{x}

                א

                מאיזו שנה הצעה ב’ נותנת יותר? בדקו בחישוב את השנה שלפניה ואת השנה עצמה.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה