דלג לתוכן

גורם הגדילה וגורם הדעיכה

כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 2 מתוך 14לימוד

גורם הגדילה וגורם הדעיכה

גורם הגדילה

עלייה של p\displaystyle p אחוזים היא כפל ב-1+p100\displaystyle 1+\frac{p}{100}: הערך החדש הוא 100% מהערך הקודם ועוד p\displaystyle p אחוזים ממנו. המספר הזה הוא גורם הגדילה, q\displaystyle q.

q=1+p100\displaystyle q=1+\frac{p}{100}
  • עלייה של 4%: q=1.04\displaystyle {q}={1.04}.
  • עלייה של 12%: q=1.12\displaystyle {q}={1.12}.
  • עלייה של 0.5%: q=1.005\displaystyle {q}={1.005}.
  • עלייה של 100% – המחיר הוכפל: q=2\displaystyle {q}={2}.
גורם הדעיכה

ירידה של p\displaystyle p אחוזים היא כפל ב-1−p100\displaystyle 1-\frac{p}{100}: נשארים 100−p\displaystyle 100-p אחוזים מהערך. המספר הזה הוא גורם הדעיכה.

q=1−p100\displaystyle q=1-\frac{p}{100}
  • ירידה של 15%: q=0.85\displaystyle {q}={0.85}.
  • ירידה של 3%: q=0.97\displaystyle {q}={0.97}.
  • ירידה של 40%: q=0.6\displaystyle {q}={0.6}.

גורם גדול מ-1 – הערך גדל; גורם בין 0 ל-1 – הערך קטן.

מהגורם בחזרה לאחוז

מה שהגורם מוסיף על 1 הוא אחוז העלייה, ומה שחסר לו עד 1 הוא אחוז הירידה:

  • q=1.07\displaystyle {q}={1.07} – עלייה של 7%.
  • q=1.3\displaystyle {q}={1.3} – עלייה של 30%.
  • q=0.92\displaystyle {q}={0.92} – ירידה של 8%.
  • q=0.6\displaystyle {q}={0.6} – ירידה של 40%.
שני שינויים בזה אחר זה

כששני שינויים באים בזה אחר זה, כופלים בגורם של כל אחד מהם – והגורם של שניהם יחד הוא המכפלה.

q1⋅q2\displaystyle q_1\cdot q_2

שכר הדירה של משפחת לוי הוא 4,000 ₪ לחודש.
הוא עלה ב-5%, ובשנה שאחריה שוב ב-5%:

4000⋅1.05⋅1.05=4000⋅1.1025=44104000\cdot1.05\cdot1.05=4000\cdot1.1025=4410

הגורם של שתי העליות יחד הוא 1.1025\displaystyle 1.1025: עלייה של 10.25%, ולא של 10%. העלייה השנייה היא 5% משכר הדירה החדש, הגדול יותר.

עלייה וירידה באותו אחוז

עלייה וירידה באותו אחוז אינן מבטלות זו את זו: הירידה מחושבת מהערך שאחרי העלייה.

מחיר של מניה עלה ב-20%, ואחר כך ירד ב-20%:

1.2⋅0.8=0.961.2\cdot0.8=0.96

המחיר בסוף הוא 96% מהמחיר בהתחלה – נמוך ב-4%.

מחיר שעולה בכל שנה

כשמחיר עולה באותו אחוז בכל שנה, כופלים באותו גורם פעם אחת לכל שנה.

מנת פלאפל עולה 25 ₪, והמחיר עולה ב-4% בכל שנה:

  • אחרי שנה: 25⋅1.04=26\displaystyle {25\cdot1.04}={26} ₪.
  • אחרי שנתיים: 25⋅1.04⋅1.04=27.04\displaystyle {25\cdot1.04\cdot1.04}={27.04} ₪.
  • אחרי שלוש שנים: 25⋅1.04⋅1.04⋅1.04=28.1216≈28.12\displaystyle {25\cdot1.04\cdot1.04\cdot1.04}={28.1216\approx28.12} ₪.
תרגיל 1

כתבו את הגורם של כל שינוי.

א

עלייה של 6%.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    ירידה של 25%.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      עלייה של 2.5%.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

        ירידה של 0.5%.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          לכל גורם כתבו אם הוא מתאר עלייה או ירידה, ובכמה אחוזים:

          1. q=1.15\displaystyle {q}={1.15}
          2. q=0.75\displaystyle {q}={0.75}
          3. q=1.008\displaystyle {q}={1.008}
          4. q=0.99\displaystyle {q}={0.99}
          5. q=3\displaystyle {q}={3}
          תרגיל 3

          המשכורת של שירה היא 8,000 ₪ לחודש.
          בינואר היא קיבלה העלאה של 3%, וביולי – עוד העלאה של 4%.

          א

          מה המשכורת של שירה אחרי שתי ההעלאות?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            בכמה אחוזים עלתה המשכורת בסך הכול?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 4

              בסוף העונה ירד המחיר של מעיל ב-30%.
              בתחילת העונה הבאה עלה המחיר ב-30%.

              א

              חשבו את הגורם של שני השינויים יחד.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                האם המעיל חזר למחיר שהיה לו בהתחלה? אם לא – בכמה אחוזים הוא שונה ממנו?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 5

                  כרטיס אוטובוס עולה 8 ₪.
                  המחיר עולה ב-5% בכל שנה.

                  א

                  כמה יעלה הכרטיס אחרי שנתיים?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                    כמה יעלה הכרטיס אחרי שלוש שנים? עגלו לאגורות.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה