דלג לתוכן

נוסחת הגדילה והדעיכה

כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 3 מתוך 14לימוד

נוסחת הגדילה והדעיכה

הנוסחה A = A₀·qⁿ

כשערך גדל או קטן באותו אחוז בכל תקופה, הערך אחרי n\displaystyle n תקופות הוא הערך בהתחלה כפול הגורם n\displaystyle n פעמים:

A\displaystyle A =\displaystyle = A0⋅qn\displaystyle A_0\cdot q^{n}
  • A0\displaystyle A_0 – הערך בהתחלה;
  • q\displaystyle q – הגורם של תקופה אחת: גדול מ-1 בגדילה, בין 0 ל-1 בדעיכה;
  • n\displaystyle n – מספר התקופות: שנים, חודשים, רבעונים – לפי התקופה שהאחוז מתייחס אליה;
  • A\displaystyle A – הערך אחרי n\displaystyle n תקופות.

תהליך כזה נקרא גדילה מעריכית (או דעיכה מעריכית): n\displaystyle n נמצא במעריך של החזקה.

פיקדון לעשר שנים

מאיה הפקידה 8,000 ₪ לעשר שנים, בריבית דריבית של 4% לשנה.
כמה כסף יהיה בפיקדון בסוף?

A0=8000\displaystyle {A_0}={8000}, q=1.04\displaystyle {q}={1.04}, n=10\displaystyle {n}={10}:

A=8000⋅1.0410≈11841.95A=8000\cdot1.04^{10}\approx11841.95

בעשר שנים הרוויחה מאיה כמעט 3,842 ₪.

החוב של מינוס בבנק

חוב שלא מחזירים גדל באותו אופן: הבנק מוסיף ריבית על החוב, ובתקופה הבאה – ריבית גם על הריבית.

לאיתי יש מינוס של 5,000 ₪ בחשבון הבנק.
הבנק גובה ריבית של 1.2% לחודש.
כמה יהיה החוב אחרי שנה, אם איתי לא יפקיד כסף?

כאן התקופה היא חודש, ולכן q=1.012\displaystyle {q}={1.012} ו-n=12\displaystyle {n}={12}:

A=5000⋅1.01212≈5769.47A=5000\cdot1.012^{12}\approx5769.47

בשנה אחת החוב גדל ביותר מ-769 ₪ – יותר מ-15%, ולא 12⋅1.2%=14.4%\displaystyle {12\cdot1.2\%}={14.4\%}.

הגרף של גדילה מעריכית

הגרף של גדילה מעריכית הוא עקומה שעולה בכל שנה יותר מבשנה שלפניה, והגרף של ריבית פשוטה הוא קו ישר.

הפיקדון של מאיה, y=8000⋅1.04x\displaystyle {y}={8000\cdot1.04^{x}}, וליד הגרף שלו – אותו פיקדון בריבית פשוטה של 4%, y=8000+320x\displaystyle {y}={8000+320x} (הקו המקווקו):

y=8000⋅1.04x\displaystyle y=8000\cdot1.04^{x}
y=8000+320x\displaystyle y=8000+320x
  • שני הגרפים יוצאים מאותה נקודה על ציר ה-y\displaystyle y: הקרן, 8,000 ₪.
  • בשנים הראשונות הם כמעט צמודים; עם השנים העקומה מתרחקת מהקו כלפי מעלה.
תרגיל 1

תום הפקיד 15,000 ₪ לשש שנים, בריבית דריבית של 3.5% לשנה.
כמה כסף יהיה בפיקדון בסוף? עגלו לאגורות.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    לליה יש מינוס של 3,000 ₪ בחשבון.
    הבנק גובה ריבית של 1.5% לחודש.

    א

    כמה יהיה החוב אחרי שמונה חודשים, אם ליה לא תפקיד כסף? עגלו לאגורות.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב

      בכמה שקלים גדל החוב?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        רון הפקיד 2,000 ₪ בריבית דריבית של 6% לשנה.
        כתבו את הסכום בפיקדון אחרי x\displaystyle x שנים כפונקציה של x\displaystyle x. הגרף שלה יופיע על הלוח.

        תרגיל 4

        דירה בעיר עולה היום 1,500,000 ₪.
        מחירי הדירות בעיר עולים ב-6% בשנה.
        כמה תעלה הדירה בעוד ארבע שנים, אם המחירים ימשיכו לעלות כך?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 5

          אבי הפקיד 10,000 ₪ לעשר שנים, בריבית דריבית של 3% לשנה.
          בן הפקיד 10,000 ₪ לחמש שנים, בריבית דריבית של 6% לשנה.

          א

          כמה כסף יהיה לאבי בסוף? עגלו לאגורות.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            כמה כסף יהיה לבן בסוף? עגלו לאגורות.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

              בשני המקרים 3⋅10=6⋅5=30\displaystyle {3\cdot10}={6\cdot5}={30}. מדוע הסכומים בסוף שונים?