דלג לתוכן

ממוצע ופיזור: השוואת השקעות

כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 10 מתוך 14לימוד

ממוצע ופיזור: השוואת השקעות

סטיית התקן כמדד לסיכון

בהשקעות, סטיית התקן של התשואות היא מדד לסיכון: ככל שהיא גדולה יותר, התשואה בשנה מסוימת יכולה להיות רחוקה יותר מהממוצע – גם הפסד.

התשואות של שתי מניות בחמש שנים, באחוזים:

‎-10‎-50510152020212022202320242025שנהתשואה (%)6758915-520010מניה א׳מניה ב׳

  • מניה א’: הממוצע 7%, סטיית התקן 2≈1.41\displaystyle \sqrt{2}\approx1.41 אחוזים.
  • מניה ב’: הממוצע 8%, סטיית התקן 86≈9.27\displaystyle \sqrt{86}\approx9.27 אחוזים.

למניה ב’ תשואה ממוצעת גבוהה יותר, אבל בשנה אחת היא הפסידה 5%, ובשנה אחרת לא הרוויחה כלום.

בחירה בין תשואה לסיכון

תשואה ממוצעת גבוהה באה בדרך כלל עם סיכון גבוה, ולכן הבחירה תלויה במי שמשקיע ובזמן שיש לו:

  • מי שחוסך ל-20 שנה יכול לחכות שהשנים הרעות יעברו – מתאימה לו יותר מניה ב’, עם הממוצע הגבוה.
  • מי שצריך את הכסף בשנה הבאה, לרישיון נהיגה או לשכר לימוד, לא יכול להרשות לעצמו שנה של הפסד – מתאימה לו יותר מניה א’, עם סטיית התקן הקטנה.
משכורות בשתי חברות

שתי קבוצות עם אותו ממוצע יכולות להיות שונות מאוד: סטיית התקן מראה כמה הן שונות.

המשכורות החודשיות של חמישה עובדים בכל חברה, באלפי שקלים:
חברה א’: 9, 10, 10, 11, 10\displaystyle 9,\ 10,\ 10,\ 11,\ 10
חברה ב’: 6, 8, 10, 12, 14\displaystyle 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14

  • בשתי החברות הממוצע 10 אלף ₪.
  • בחברה א’ סטיית התקן 0.4≈0.63\displaystyle \sqrt{0.4}\approx0.63 אלף ₪: כולם מרוויחים בערך אותו דבר.
  • בחברה ב’ סטיית התקן 8≈2.83\displaystyle \sqrt{8}\approx2.83 אלף ₪: יש הבדלים גדולים בין העובדים.
תוספת קבועה לכולם

כשמוסיפים לכל הנתונים אותו מספר, הממוצע גדל במספר הזה, וסטיית התקן לא משתנה: כל הנתונים זזים יחד, והמרחקים שלהם מהממוצע נשארים אותו דבר.

כל עובדי חברה ב’ קיבלו תוספת של 500 ₪ (חצי אלף):
המשכורות החדשות: 6.5, 8.5, 10.5, 12.5, 14.5\displaystyle 6.5,\ 8.5,\ 10.5,\ 12.5,\ 14.5

  • הממוצע: 10.5 אלף ₪ – גדל ב-0.5.
  • הסטיות מהממוצע: −4, −2, 0, 2, 4\displaystyle -4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4 – כמו קודם, ולכן סטיית התקן נשארה ≈2.83\displaystyle \approx2.83.
תוספת באחוזים לכולם

כשכל הנתונים גדלים באותו אחוז, גם הממוצע וגם סטיית התקן גדלים באותו אחוז: כל סטייה מהממוצע נכפלת באותו גורם.

כל עובדי חברה ב’ קיבלו תוספת של 10% – כל משכורת נכפלה ב-1.1:
המשכורות החדשות: 6.6, 8.8, 11, 13.2, 15.4\displaystyle 6.6,\ 8.8,\ 11,\ 13.2,\ 15.4

  • הממוצע: 10⋅1.1=11\displaystyle {10\cdot1.1}={11} אלף ₪.
  • סטיית התקן: 8⋅1.1≈3.11\displaystyle \sqrt{8}\cdot1.1\approx3.11 אלף ₪ – הפערים בין העובדים גדלו.
תרגיל 1

התשואות של שתי קרנות השתלמות בחמש שנים, באחוזים:
קרן א’: 3, 4, 4, 5, 4\displaystyle 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 4
קרן ב’: 8, −4, 12, 2, 7\displaystyle 8,\ -4,\ 12,\ 2,\ 7

א

חשבו את התשואה הממוצעת של כל קרן.

קרן א’:

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    קרן ב’:

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב

      חשבו את סטיית התקן של כל קרן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

      קרן א’:

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        קרן ב’:

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ג

          איזו קרן מתאימה לחוסכת שצריכה את הכסף בעוד שנה, ואיזו לחוסך שצריך אותו בעוד 15 שנה? הסבירו.

          תרגיל 2

          שכר הדירה החודשי של חמש דירות בשתי שכונות, בשקלים:
          שכונה א’: 3200, 3500, 3400, 3600, 3300\displaystyle 3200,\ 3500,\ 3400,\ 3600,\ 3300 – הממוצע 3,400 ₪.
          שכונה ב’: 2500, 4500, 3000, 4000, 3500\displaystyle 2500,\ 4500,\ 3000,\ 4000,\ 3500 – הממוצע 3,500 ₪.

          א

          חשבו את סטיית התקן בשכונה א’. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            חשבו את סטיית התקן בשכונה ב’. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

              סטודנט מחפש דירה ויש לו תקציב של 3,500 ₪ בדיוק. באיזו שכונה קל יותר לנחש מראש כמה תעלה דירה? הסבירו.

              תרגיל 3

              בחנות בגדים, המשכורת הממוצעת של העובדים היא 8,000 ₪, וסטיית התקן 1,200 ₪.
              ההנהלה מציעה שתי אפשרויות לתוספת:
              אפשרות א’ – 400 ₪ לכל עובד.
              אפשרות ב’ – 5% לכל עובד.

              א

              מה תהיה סטיית התקן אחרי אפשרות א’?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                מה יהיה הממוצע אחרי אפשרות ב’?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  מה תהיה סטיית התקן אחרי אפשרות ב’?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ד

                    באיזו אפשרות יבחרו העובדים שמרוויחים פחות מ-8,000 ₪? הסבירו.

                    תרגיל 4

                    בפרסומת של קרן השקעות כתוב: “תשואה ממוצעת של 9% לשנה בחמש השנים האחרונות!”

                    איזה נתון נוסף כדאי לבקש לפני שמשקיעים בקרן? הסבירו מדוע.