סטיית התקן

כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 9 מתוך 14לימוד

סטיית התקן

שתי קרנות עם אותו ממוצע

הממוצע לבדו לא מספר כמה הנתונים מפוזרים סביבו. לשם כך יש מדד פיזור.

התשואה של קרן חיסכון בשנה היא האחוז שהכסף בקרן גדל באותה שנה (תשואה שלילית – הכסף קטן).
התשואות של שתי קרנות בחמש השנים האחרונות, באחוזים:

הממוצע של קרן א’: $\displaystyle {\frac{4+5+6+5+5}{5}}={5}$ .
הממוצע של קרן ב’: $\displaystyle {\frac{-2+12+3+10+2}{5}}={5}$ .

באותו ממוצע, בקרן א’ התשואה כמעט לא משתנה משנה לשנה, ובקרן ב’ היא קופצת – משנה של הפסד לשנה של רווח גדול.

הטווח

הטווח הוא ההפרש בין הנתון הגדול ביותר לקטן ביותר.

\displaystyle x_{\max}-x_{\min}

קרן א’: $\displaystyle {6-4}={2}$ .
קרן ב’: $\displaystyle {12-(-2)}={14}$ .

הטווח תלוי רק בשני נתונים, הקיצוניים. נתון חריג אחד מגדיל אותו מאוד, גם כשכל השאר קרובים זה לזה.

הסטייה מהממוצע

הסטייה של נתון מהממוצע היא $\displaystyle x-\bar{x}$ : חיובית מעל הממוצע, שלילית מתחתיו.

הסטיות בקרן א’: $\displaystyle -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ 0$ .

סכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד 0 – הסטיות למעלה והסטיות למטה מבטלות זו את זו. לכן מעלים כל סטייה בריבוע: הריבוע תמיד חיובי (או 0), וסטייה גדולה נותנת ריבוע גדול מאוד.

השונות וסטיית התקן

השונות היא הממוצע של ריבועי הסטיות, וסטיית התקן $\displaystyle \sigma$ היא השורש שלה. סטיית התקן היא בערך המרחק הרגיל של נתון מהממוצע, באותן יחידות כמו הנתונים.

\displaystyle \sigma^{2}=\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}}{n}

\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}

החישוב בקרן ב’ (הממוצע 5):

התשואה $\displaystyle x$	הסטייה $\displaystyle x-\bar{x}$	ריבוע הסטייה
$\displaystyle -2$	$\displaystyle -7$	49
12	7	49
3	$\displaystyle -2$	4
10	5	25
2	$\displaystyle -3$	9
	סכום: 0	סכום: 136

השונות: $\displaystyle {\frac{136}{5}}={27.2}$ .
סטיית התקן: $\displaystyle {\sigma}={\sqrt{27.2}\approx5.22}$ אחוזים.

בקרן א’ ריבועי הסטיות הם $\displaystyle 1, 0, 1, 0, 0$ : השונות $\displaystyle {\frac{2}{5}}={0.4}$ , וסטיית התקן $\displaystyle \sqrt{0.4}\approx0.63$ אחוזים. סטיית התקן של קרן ב’ גדולה פי 8 בערך: התשואות שלה מפוזרות הרבה יותר.

סטיית תקן מטבלת שכיחויות

בטבלת שכיחויות כל ריבוע של סטייה נספר כמה פעמים שהערך שלו מופיע – כופלים אותו בשכיחות.

מספר המשמרות בשבוע של 10 עובדים במסעדה:

משמרות	3	4	5
עובדים	2	5	3

הממוצע: $\displaystyle {\frac{3\cdot2+4\cdot5+5\cdot3}{10}}={\frac{41}{10}}={4.1}$ .
הסטיות: $\displaystyle -1.1$ , $\displaystyle -0.1$ , $\displaystyle 0.9$ .
השונות: $\displaystyle {\frac{1.21\cdot2+0.01\cdot5+0.81\cdot3}{10}}={\frac{4.9}{10}}={0.49}$ .
סטיית התקן: $\displaystyle {\sigma}={\sqrt{0.49}}={0.7}$ משמרות.

תרגיל 1

המחיר של אותה חבילת קפה בחמש חנויות, בשקלים:
$\displaystyle 10,\ 12,\ 11,\ 9,\ 13$

חשבו את המחיר הממוצע.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חשבו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 2

הטיפים שמלצר קיבל בשישה שבועות, בשקלים:
$\displaystyle 600,\ 800,\ 700,\ 900,\ 500,\ 700$

חשבו את הממוצע השבועי.

חשבו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 3

ארבעה חברים עובדים באותה גלידרייה, וכל אחד מהם מרוויח 45 ₪ לשעה.

מהי סטיית התקן של השכר שלהם לשעה? הסבירו בלי לחשב.

תרגיל 4

בסקר שאלו 20 משפחות כמה מכוניות יש להן:

מכוניות	0	1	2	3
משפחות	3	8	6	3

חשבו את מספר המכוניות הממוצע למשפחה.

חשבו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

נוסחאות: כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

ריבית פשוטה – $\displaystyle A_0$ הקרן, $\displaystyle p$ שיעור הריבית לשנה באחוזים, $\displaystyle n$ מספר השנים, $\displaystyle A$ הסכום בסוף
$\displaystyle A=A_0+n\cdot A_0\cdot\frac{p}{100}$
גורם הגדילה – עלייה של $\displaystyle p$ אחוזים
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – ירידה של $\displaystyle p$ אחוזים
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
גדילה ודעיכה – $\displaystyle A_0$ הערך בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם לתקופה, $\displaystyle n$ מספר התקופות, $\displaystyle A$ הערך בסוף
$\displaystyle A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_0\cdot q^{n}$
הגורם של שני שינויים בזה אחר זה
$\displaystyle q_1\cdot q_2$
הערך היום של סכום $\displaystyle A$ בעוד $\displaystyle n$ שנים, כשהמחירים עולים פי $\displaystyle q$ בכל שנה
$\displaystyle \frac{A}{q^{n}}$
כלל 72 – מספר השנים בערך עד שסכום מוכפל, בגדילה של $\displaystyle p$ אחוזים לשנה
$\displaystyle n\approx\frac{72}{p}$

ממוצע ופיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
השונות – ממוצע הריבועים של הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^{2}=\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}}{n}$
סטיית התקן
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}$

רבעונים ועשירונים

מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
הטווח הבין־רבעוני – $\displaystyle Q_1$ הרבעון התחתון, $\displaystyle Q_3$ הרבעון העליון
$\displaystyle Q_3-Q_1$
הפער בין העשירון העליון לתחתון – פי כמה ההכנסה הממוצעת בעשירון 10 גדולה מזו שבעשירון 1
$\displaystyle \frac{\bar{x}_{10}}{\bar{x}_{1}}$