דלג לתוכן

המחיר שנותן הכנסה מרבית

כלכלה ופיננסים, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 2 מתוך 16לימוד

המחיר שנותן הכנסה מרבית

ההכנסה המרבית: הקודקוד
בדיקה: 150⋅300=45000\displaystyle {150\cdot300}={45000}.

ההכנסה של מועדון הכושר אחרי x\displaystyle x העלאות של 5 ₪ היא R(x)=−50x2+1000x+40000\displaystyle {R(x)}={-50x^{2}+1000x+40000}.
הפרבולה פונה למטה, ולכן הנקודה הגבוהה ביותר שלה היא הקודקוד – שם ההכנסה הגדולה ביותר.

שיעור ה-x\displaystyle x של הקודקוד של y=ax2+bx+c\displaystyle {y}={ax^{2}+bx+c}:

x\displaystyle x =\displaystyle = −b2a\displaystyle -\frac{b}{2a}a≠0\displaystyle a\neq0

בדוגמה שלפניכם נמצא את המחיר הטוב ביותר:

  • a=−50\displaystyle {a}={-50}, b=1000\displaystyle {b}={1000}, ולכן x=−10002⋅(−50)=10\displaystyle {x}={-\frac{1000}{2\cdot(-50)}}={10} העלאות.
  • המחיר: 100+5⋅10=150\displaystyle {100+5\cdot10}={150} ₪, ומספר המנויים: 400−10⋅10=300\displaystyle {400-10\cdot10}={300}.
  • ההכנסה המרבית: R(10)=−50⋅100+1000⋅10+40000=45000\displaystyle {R(10)}={-50\cdot100+1000\cdot10+40000}={45000} ₪.
R(x)=−50x2+1000x+40000\displaystyle R(x)=-50x^{2}+1000x+40000
V=(10,45000)\displaystyle V=(10,45000)
המחירים שבהם ההכנסה 0

ההכנסה היא 0 כשאחד הגורמים במכפלה הוא 0 – המחיר או מספר הלקוחות:

(100+5x)(400−10x)=0(100+5x)(400-10x)=0
  • 100+5x=0\displaystyle {100+5x}={0}, כלומר x=−20\displaystyle {x}={-20}: המחיר הוא 0 ₪.
  • 400−10x=0\displaystyle {400-10x}={0}, כלומר x=40\displaystyle {x}={40}: המחיר הוא 300 ₪, ואף אחד לא נשאר מנוי.

אלה נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x\displaystyle x. הפרבולה סימטרית, ולכן הקודקוד באמצע ביניהן:

xV=x1+x22\displaystyle x_V=\frac{x_1+x_2}{2}

בדוגמה: xV=−20+402=10\displaystyle {x_V}={\frac{-20+40}{2}}={10} – אותו קודקוד.

כמות שיורדת בקו ישר

כשמוכרים q=k−mp\displaystyle {q}={k-mp} יחידות במחיר p\displaystyle p, ההכנסה היא R(p)=p(k−mp)\displaystyle {R(p)}={p(k-mp)}.

  • ההכנסה היא 0 ב-p=0\displaystyle {p}={0}, ובמחיר שבו אף אחד לא קונה, p=km\displaystyle {p}={\frac{k}{m}}.
  • המחיר הטוב ביותר באמצע ביניהם – חצי מהמחיר שבו אף אחד לא קונה:
p=k2m\displaystyle p=\frac{k}{2m}

במאפייה מהשיעור הקודם, q=500−20p\displaystyle {q}={500-20p}: אף אחד לא קונה ב-25 ₪, ולכן המחיר הטוב ביותר הוא 12.5 ₪.
נמכרות בו 500−20⋅12.5=250\displaystyle {500-20\cdot12.5}={250} כיכרות, וההכנסה היא 12.5⋅250=3125\displaystyle {12.5\cdot250}={3125} ₪.

תרגיל 1

בבית הקולנוע מהשיעור הקודם ההכנסה מהקרנה אחרי x\displaystyle x העלאות של 2 ₪ היא R(x)=(40+2x)(300−10x)\displaystyle {R(x)}={(40+2x)(300-10x)}.
אחרי פתיחת הסוגריים: R(x)=−20x2+200x+12000\displaystyle {R(x)}={-20x^{2}+200x+12000}.

א

סמנו בגרף את הקודקוד של הפרבולה.

R(x)=−20x2+200x+12000\displaystyle R(x)=-20x^{2}+200x+12000

ב

חשבו את מספר ההעלאות שנותן את ההכנסה הגדולה ביותר.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ג

    מה המחיר של כרטיס שנותן את ההכנסה הגדולה ביותר, ומה ההכנסה הזו?

    מחיר כרטיס (₪)

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ההכנסה (₪)

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        ההכנסה של בית הקולנוע מתרגיל 1 היא 0 כשהמחיר הוא 0, או כשאף אחד לא קונה כרטיס.

        א

        פתרו את המשוואה.

          ב

          מה המחיר של כרטיס בכל אחד מהפתרונות?
          הראו שהקודקוד שמצאתם בתרגיל 1 נמצא באמצע בין הפתרונות.

          המחיר בפתרון הקטן (₪)

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            המחיר בפתרון הגדול (₪)

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              בקיוסק על החוף מוכרים ביום q=600−30p\displaystyle {q}={600-30p} ארטיקים, כש-p\displaystyle p הוא המחיר של ארטיק בשקלים.
              בגרף, x\displaystyle x הוא המחיר של ארטיק, ו-y\displaystyle y ההכנסה ביום.

              א

              סמנו בגרף את הנקודות שבהן ההכנסה היא 0, ואת הקודקוד.

              R(x)=x(600−30x)\displaystyle R(x)=x(600-30x)

              ב

              באיזה מחיר כדאי למכור ארטיק?
              כמה ארטיקים יימכרו ביום במחיר הזה, ומה תהיה ההכנסה?

              מחיר ארטיק (₪)

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ארטיקים ביום

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ההכנסה ביום (₪)

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 4

                    בתחנה על הירקון משכירים 60 קיאקים ביום, כל קיאק ב-80 ₪.
                    כל העלאה של 10 ₪ במחיר מורידה 5 קיאקים מההשכרות.
                    x\displaystyle x הוא מספר ההעלאות של 10 ₪.

                    א

                    ההכנסה ביום היא R(x)=(80+10x)(60−5x)\displaystyle {R(x)}={(80+10x)(60-5x)}.
                    פתחו את הסוגריים.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ב

                      חשבו את מספר ההעלאות שנותן את ההכנסה הגדולה ביותר.

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        ג

                        באיזה מחיר כדאי להשכיר קיאק, כמה קיאקים יושכרו, ומה תהיה ההכנסה ביום?

                        מחיר קיאק (₪)

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                          קיאקים ביום

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                            ההכנסה ביום (₪)

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה