אילוצים: אי־שוויונות בשני משתנים

נגרייה מייצרת שולחנות וכיסאות.
הכנת שולחן לוקחת 3 שעות עבודה, והכנת כיסא – שעה אחת.
לעובדי הנגרייה יש 60 שעות עבודה בשבוע.

כמה שולחנות וכמה כיסאות לייצר בשבוע? כדי לענות, נותנים שם לכל כמות שמחליטים עליה:

• $\displaystyle x$ – מספר השולחנות בשבוע;
• $\displaystyle y$ – מספר הכיסאות בשבוע.

$\displaystyle x$ ו-$\displaystyle y$ הם המשתנים של הבעיה. כל זוג $\displaystyle (x,y)$ הוא תוכנית ייצור: $\displaystyle (10,20)$ – 10 שולחנות ו-20 כיסאות. התחום במתמטיקה שמחפש את התוכנית הטובה ביותר בתוך מגבלות כאלה נקרא תכנון לינארי.

בתוכנית $\displaystyle (x,y)$ העבודה לוקחת $\displaystyle 3x+y$ שעות: 3 שעות לכל שולחן ושעה לכל כיסא.
אי אפשר לעבוד יותר מ-60 שעות, ולכן

תנאי כזה נקרא אילוץ: מגבלה שכל תוכנית חייבת לקיים, כתובה כאי־שוויון בשני המשתנים.

• “לכל היותר”, “לא יותר מ-” – הסימן $\displaystyle \le$.
• “לפחות”, “לא פחות מ-” – הסימן $\displaystyle \ge$.
• מספר המוצרים אינו שלילי: $\displaystyle x\ge0$ ו-$\displaystyle y\ge0$. גם אלה אילוצים, בכל בעיה כזו.

כדי לבדוק תוכנית, מציבים אותה באילוץ:

בלוח הגרפים מוצללות כל הנקודות שמקיימות את $\displaystyle 3x+y\le60$.

• הישר $\displaystyle {3x+y}={60}$ הוא קו הגבול: התוכניות שמשתמשות בכל 60 השעות. הוא עובר ב-$\displaystyle (0,60)$ וב-$\displaystyle (20,0)$.
• מתחת לישר – תוכניות שנשארות בהן שעות פנויות, כמו $\displaystyle {A}={(10,20)}$.
• מעל לישר – תוכניות שצריכות יותר מ-60 שעות, כמו $\displaystyle {B}={(15,20)}$.

הסיבה: האילוץ הוא $\displaystyle y\le60-3x$. לכל מספר שולחנות $\displaystyle x$, הנקודה על הישר היא המספר הגדול ביותר של כיסאות שאפשר להוסיף, וכל $\displaystyle y$ קטן ממנו מתאים גם הוא. החלק של המישור שבצד אחד של ישר נקרא חצי מישור.

כך מציירים אילוץ כמו $\displaystyle 2x+5y\le100$:

• קו הגבול, $\displaystyle {2x+5y}={100}$, עובר דרך שתי נקודות על הצירים: כש-$\displaystyle {x}={0}$, $\displaystyle {y}={20}$; כש-$\displaystyle {y}={0}$, $\displaystyle {x}={50}$.
• בוחרים נקודה שאינה על הישר, בדרך כלל $\displaystyle (0,0)$, ומציבים: $\displaystyle {2\cdot0+5\cdot0}={0\le100}$ – נכון.
• לכן מצלילים את הצד של הישר שבו נמצאת $\displaystyle (0,0)$.

באי־שוויון עם $\displaystyle <$ או $\displaystyle >$ הנקודות שעל קו הגבול אינן פתרונות, ולכן הוא מקווקו.

מאפייה אופה עוגות ופשטידות.
עוגה תופסת את התנור שעתיים, ופשטידה – שעה אחת.
התנור פנוי 24 שעות בשבוע.
$\displaystyle x$ הוא מספר העוגות בשבוע, ו-$\displaystyle y$ מספר הפשטידות.

כתבו בלוח הגרפים את האילוץ של שעות התנור.

אפשר לאפות בשבוע 8 עוגות ו-10 פשטידות?
חשבו כמה שעות תנור צריך, וכתבו את התשובה.

בלוח הגרפים מוצלל חצי מישור, והנקודות $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ על קו הגבול שלו.
כתבו את אי־השוויון של חצי המישור.

חנות בגדים מזמינה חולצות ומכנסיים.
חולצה עולה לחנות 50 ₪, ומכנסיים – 100 ₪.
התקציב להזמנה הוא 3,000 ₪ לכל היותר.
הספק שולח הזמנה של 20 פריטים לפחות.
$\displaystyle x$ הוא מספר החולצות, ו-$\displaystyle y$ מספר המכנסיים.

כתבו בלוח הגרפים את שני האילוצים.

בדקו את התוכניות $\displaystyle (10,15)$ ו-$\displaystyle (30,20)$: איזו מהן מקיימת את שני האילוצים?