דלג לתוכן

המרחק בין שתי נקודות ואמצע קטע

כלכלה ופיננסים, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 9 מתוך 16לימוד

המרחק בין שתי נקודות ואמצע קטע

מפת העיר במערכת צירים

בשכונה חדשה הרחובות ישרים: חלקם עוברים ממערב למזרח, וחלקם מדרום לצפון.
על מפת השכונה יש מערכת צירים: יחידה על כל ציר היא 100 מטרים, האורך של בלוק אחד.
המאפייה נמצאת בנקודה A(1,2)\displaystyle A(1,2), ובית המרקחת בנקודה B(7,10)\displaystyle B(7,10).

A=(1,2)\displaystyle A=(1,2)
B=(7,10)\displaystyle B=(7,10)
C=(7,2)\displaystyle C=(7,2)
  • C(7,2)\displaystyle C(7,2) היא הפינה שבה ההולך מ-A\displaystyle A מזרחה פונה צפונה, אל B\displaystyle B.
  • מ-A\displaystyle A ל-C\displaystyle C: 7−1=6\displaystyle {7-1}={6} יחידות, 600 מטרים.
  • מ-C\displaystyle C ל-B\displaystyle B: 10−2=8\displaystyle {10-2}={8} יחידות, 800 מטרים.
  • ההליכה לאורך הרחובות מ-A\displaystyle A ל-B\displaystyle B: 6+8=14\displaystyle {6+8}={14} יחידות, 1,400 מטרים.
המרחק בקו אווירי

המרחק בקו אווירי בין שתי נקודות הוא האורך של הקטע הישר שמחבר אותן – כך טס רחפן משלוחים, וכך נמתח כבל.

המשולש ACB\displaystyle ACB ישר־זווית: הזווית הישרה בפינה C\displaystyle C, שבה רחוב שעובר מזרחה פוגש רחוב שעובר צפונה.

  • הניצבים: AC=6\displaystyle {AC}={6} ו-CB=8\displaystyle {CB}={8}.
  • היתר: הקטע AB\displaystyle AB.

לפי משפט פיתגורס:

AB2=62+82=36+64=100AB^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100AB=100=10AB=\sqrt{100}=10

רחפן שטס מהמאפייה לבית המרקחת עובר 10 יחידות, 1,000 מטרים – 400 מטרים פחות ממי שהולך ברחובות.

נוסחת המרחק
הפרש בסוגריים יכול להיות שלילי, אבל הריבוע שלו חיובי: לא משנה איזו נקודה כותבים ראשונה.

הניצבים של המשולש הם ההפרש בין שיעורי ה-x\displaystyle x וההפרש בין שיעורי ה-y\displaystyle y.
לכן המרחק בין הנקודות (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1) ו-(x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2) הוא:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}

בדוגמה שלפניכם נחשב את המרחק בין A(1,2)\displaystyle A(1,2) ל-D(5,7)\displaystyle D(5,7), מעוגל לשתי ספרות אחרי הנקודה:

d=(5−1)2+(7−2)2=16+25=41≈6.40d=\sqrt{(5-1)^{2}+(7-2)^{2}}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\approx6.40
  • 41\displaystyle \sqrt{41} אינו מספר שלם, ולכן כותבים ≈\displaystyle \approx ומעגלים.
  • המרחק הוא בערך 6.40 יחידות, כלומר בערך 640 מטרים.
אמצע קטע

חברת משלוחים רוצה לבנות מחסן באמצע הדרך בקו אווירי בין המאפייה A(1,2)\displaystyle A(1,2) לבית המרקחת B(7,10)\displaystyle B(7,10).
אמצע הקטע AB\displaystyle AB הוא הנקודה M\displaystyle M על הקטע שנמצאת באותו מרחק מ-A\displaystyle A ומ-B\displaystyle B.
השיעורים שלה הם הממוצעים של השיעורים של A\displaystyle A ו-B\displaystyle B:

M=(x1+x22,y1+y22)\displaystyle M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)
A=(1,2)\displaystyle A=(1,2)
B=(7,10)\displaystyle B=(7,10)
M=(4,6)\displaystyle M=(4,6)
  • שיעור ה-x\displaystyle x: 1+72=4\displaystyle {\frac{1+7}{2}}={4}.
  • שיעור ה-y\displaystyle y: 2+102=6\displaystyle {\frac{2+10}{2}}={6}.
  • המחסן בנקודה M(4,6)\displaystyle M(4,6), 5 יחידות – 500 מטרים – מכל אחת מהחנויות: חצי מ-1,000 המטרים שבין A\displaystyle A ל-B\displaystyle B.
תרגיל 1

לרשת סופרמרקטים יש שני סניפים בעיר.
סניף אחד בנקודה K(1,1)\displaystyle K(1,1), והשני בנקודה L(4,5)\displaystyle L(4,5).
יחידה על כל ציר היא 100 מטרים.

א

חשבו את המרחק בקו אווירי בין הסניפים, ביחידות.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    כמה מטרים זה?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      משאית נוסעת מ-K\displaystyle K ל-L\displaystyle L ברחובות: קודם מזרחה, ואחר כך צפונה.
      כמה מטרים היא נוסעת?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        אנטנה סלולרית נמצאת בנקודה T(−2,3)\displaystyle T(-2,3), ובית בנקודה H(4,−1)\displaystyle H(4,-1).
        יחידה על כל ציר היא 100 מטרים.
        חשבו את המרחק בקו אווירי בין האנטנה לבית, ביחידות, מעוגל לשתי ספרות אחרי הנקודה.
        כמה מטרים זה, בערך?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            לבעלים של שתי חנויות יש חנות בנקודה S(2,8)\displaystyle S(2,8) וחנות בנקודה R(10,4)\displaystyle R(10,4).
            הוא רוצה מחסן באמצע הקטע SR\displaystyle SR.
            על הגרף אפשר לסמן את המחסן.

            S=(2,8)\displaystyle S=(2,8)
            R=(10,4)\displaystyle R=(10,4)
            א

            מצאו את שיעור ה-x\displaystyle x של המחסן.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              מצאו את שיעור ה-y\displaystyle y של המחסן.

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                חשבו את המרחק בקו אווירי מהמחסן לחנות S\displaystyle S, מעוגל לשתי ספרות אחרי הנקודה.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 4

                  רחפן של מסעדה יוצא מהנקודה O(0,0)\displaystyle O(0,0) עם שתי הזמנות.
                  הלקוח הראשון גר בנקודה E(3,4)\displaystyle E(3,4), והשני בנקודה F(6,0)\displaystyle F(6,0).
                  הרחפן טס בקווים ישרים: מ-O\displaystyle O ל-E\displaystyle E, מ-E\displaystyle E ל-F\displaystyle F, וחזרה ל-O\displaystyle O.
                  יחידה על כל ציר היא 100 מטרים.

                  א

                  חשבו את המרחק מ-O\displaystyle O ל-E\displaystyle E.

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                    חשבו את המרחק מ-E\displaystyle E ל-F\displaystyle F.

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג

                      כמה מטרים טס הרחפן בכל הסיבוב?
                      אילו היה טס קודם ל-F\displaystyle F ואחר כך ל-E\displaystyle E, האם הדרך הייתה קצרה יותר?

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה