השיפוע ומשוואת הישר דרך שתי נקודות

על מפת העיר, כביש ישר עובר דרך הצומת $\displaystyle A(1,3)$ ודרך הצומת $\displaystyle B(5,11)$.
יחידה על כל ציר היא 100 מטרים.

• מ-$\displaystyle A$ ל-$\displaystyle B$ הכביש מתקדם $\displaystyle {5-1}={4}$ יחידות מזרחה ו-$\displaystyle {11-3}={8}$ יחידות צפונה.
• על כל יחידה מזרחה הכביש עולה $\displaystyle {\frac{8}{4}}={2}$ יחידות צפונה: זה השיפוע שלו.

השיפוע של ישר שעובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו-$\displaystyle (x_2,y_2)$ הוא ההפרש בין שיעורי ה-$\displaystyle y$, חלקי ההפרש בין שיעורי ה-$\displaystyle x$:

• שיפוע חיובי: הישר עולה משמאל לימין.
• שיפוע שלילי: הישר יורד משמאל לימין.

משוואת הישר היא $\displaystyle {y}={mx+b}$: את $\displaystyle m$ מוצאים משתי הנקודות, ואת $\displaystyle b$ – מהצבה של אחת מהן.

בפתרון שלפניכם נמצא את המשוואה של הכביש שעובר דרך $\displaystyle A(1,3)$ ו-$\displaystyle B(5,11)$:

• השיפוע: $\displaystyle {m}={\frac{11-3}{5-1}}={\frac{8}{4}}={2}$, ולכן $\displaystyle {y}={2x+b}$.
• נציב את $\displaystyle A(1,3)$: $\displaystyle {3}={2\cdot1+b}$, ולכן $\displaystyle {b}={1}$.
• משוואת הכביש: $\displaystyle {y}={2x+1}$.

את אותה המשוואה נותנת גם הנוסחה של ישר שהשיפוע שלו $\displaystyle m$ והוא עובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$:

כאן: $\displaystyle {y-3}={2(x-1)}$, כלומר $\displaystyle {y}={2x-2+3}={2x+1}$.

נקודה נמצאת על הישר כשהשיעורים שלה מקיימים את המשוואה שלו.
האם התחנות $\displaystyle C(4,9)$ ו-$\displaystyle D(6,12)$ נמצאות על הכביש $\displaystyle {y}={2x+1}$?

• $\displaystyle C$: $\displaystyle {2\cdot4+1}={9}$, וזה שיעור ה-$\displaystyle y$ של $\displaystyle C$: התחנה על הכביש.
• $\displaystyle D$: $\displaystyle {2\cdot6+1}={13}$, ולא 12: התחנה אינה על הכביש, היא יחידה אחת דרומה ממנו.

גם מחיר שבנוי מעלות קבועה ומעלות ליחידה הוא ישר, כמו בכיתה י’.
חברת הובלות גבתה 700 ₪ על הובלה של 20 ק"מ, ו-1,000 ₪ על הובלה של 50 ק"מ.

• הנקודות על הישר: $\displaystyle (20,700)$ ו-$\displaystyle (50,1000)$, כש-$\displaystyle x$ הוא המרחק בק"מ ו-$\displaystyle y$ המחיר בשקלים.
• השיפוע – המחיר לק"מ: $\displaystyle {m}={\frac{1000-700}{50-20}}={\frac{300}{30}}={10}$ ₪.
• נציב את $\displaystyle (20,700)$: $\displaystyle {700}={10\cdot20+b}$, ולכן $\displaystyle {b}={500}$ ₪ – העלות הקבועה של הובלה.
• המשוואה: $\displaystyle {y}={10x+500}$.

קו אוטובוס עובר בקו ישר דרך התחנה $\displaystyle A(0,2)$ ודרך התחנה $\displaystyle B(4,10)$.

חשבו את השיפוע של הקו.

כתבו בלוח הגרפים את המשוואה של הקו.

האם התחנה $\displaystyle C(6,14)$ נמצאת על הקו?
הציבו את השיעורים שלה ונמקו.

כביש ישר עובר דרך הנקודות $\displaystyle P(-2,7)$ ו-$\displaystyle Q(4,-5)$.
חשבו את השיפוע, ומצאו את $\displaystyle b$.
כתבו בלוח הגרפים את המשוואה של הכביש.

המחיר של נסיעה במונית בנוי מעלות קבועה ומעלות לכל קילומטר.
נסיעה של 6 ק"מ עלתה 40 ₪, ונסיעה של 10 ק"מ עלתה 60 ₪.
$\displaystyle x$ הוא אורך הנסיעה בקילומטרים, ו-$\displaystyle y$ המחיר בשקלים.

כתבו בלוח הגרפים את המשוואה של המחיר.

כמה תעלה נסיעה של 15 ק"מ?

מה אומרים השיפוע ו-$\displaystyle b$ על המחיר של הנסיעה?

צינור מים ישר עובר דרך הנקודות $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ שבלוח הגרפים.
כתבו בלוח הגרפים את המשוואה של הצינור.