דלג לתוכן

ההתפלגות הנורמלית

כלכלה ופיננסים, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 13 מתוך 16לימוד

ההתפלגות הנורמלית

עקומת הפעמון

במוקד שירות עובדים 400 נציגים.
השכר החודשי הממוצע שלהם הוא μ=9000\displaystyle {\mu}={9000} ₪.
סטיית התקן היא σ=1000\displaystyle {\sigma}={1000} ₪.

בכיתה י"א למדתם שסטיית התקן מודדת כמה הנתונים מתפזרים סביב הממוצע.

אצל רוב הנציגים השכר קרוב ל-9000 ₪, ומעטים מאוד מרוויחים הרבה יותר או הרבה פחות. ציור של השכר של כולם נראה כמו פעמון:

6000700080009000100001100012000שכר חודשי (₪)

התפלגות כזאת נקראת התפלגות נורמלית. בהתפלגות נורמלית:

  • העקומה סימטרית סביב הממוצע: חצי מהנתונים מעליו, וחצי מתחתיו.
  • העקומה הכי גבוהה בממוצע: שם הכי הרבה נתונים.
  • ככל שמתרחקים מהממוצע, יש פחות נתונים.
  • סטיית התקן קובעת את הרוחב: ככל ש-σ\displaystyle \sigma גדולה יותר, הפעמון רחב ונמוך יותר.

בהתפלגות נורמלית מתפלגים לרוב נתונים כלכליים של הרבה אנשים או הרבה ימים: שכר, מכירות יומיות, זמני משלוח, המשקל שמכונה ממלאת בכל אריזה.

כלל 34/13.5/2.5

בכל התפלגות נורמלית, השטח שמתחת לעקומה מתחלק לפי סטיות התקן באותם אחוזים:

  • בין μ\displaystyle \mu ל-μ+σ\displaystyle \mu+\sigma נמצאים 34% מהנתונים, וכך גם בין μ−σ\displaystyle \mu-\sigma ל-μ\displaystyle \mu.
  • בין μ+σ\displaystyle \mu+\sigma ל-μ+2σ\displaystyle \mu+2\sigma נמצאים 13.5%, וכך גם בין μ−2σ\displaystyle \mu-2\sigma ל-μ−σ\displaystyle \mu-\sigma.
  • מעל μ+2σ\displaystyle \mu+2\sigma נמצאים 2.5%, וכך גם מתחת ל-μ−2σ\displaystyle \mu-2\sigma.
600070008000900010000110001200034%34%13.5%13.5%2.5%2.5%שכר חודשי (₪)

מחיבור של הרצועות מקבלים:

  • בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע, בין μ−σ\displaystyle \mu-\sigma ל-μ+σ\displaystyle \mu+\sigma: 34%+34%=68%\displaystyle {34\%+34\%}={68\%} מהנתונים.
  • בטווח של שתי סטיות תקן, בין μ−2σ\displaystyle \mu-2\sigma ל-μ+2σ\displaystyle \mu+2\sigma: 13.5%+68%+13.5%=95%\displaystyle {13.5\%+68\%+13.5\%}={95\%}.
  • מעל הממוצע: 34%+13.5%+2.5%=50%\displaystyle {34\%+13.5\%+2.5\%}={50\%}.

במוקד השירות: 68% מהנציגים מרוויחים בין 8000 ₪ ל-10,000 ₪, ו-95% – בין 7000 ₪ ל-11,000 ₪.

האחוז מעל ערך ומתחתיו

כמה אחוזים מהנציגים מרוויחים יותר מ-11,000 ₪?

בדוגמה שלפניכם נמצא את המקום של 11,000 ₪ על הציר, ונחבר את הרצועות שמעליו:

  • 11000=9000+2⋅1000\displaystyle {11000}={9000+2\cdot1000}, כלומר μ+2σ\displaystyle \mu+2\sigma.
  • מעל μ+2σ\displaystyle \mu+2\sigma יש רצועה אחת: 2.5%.
6000700080009000100001100012000שכר חודשי (₪)

ומי שמרוויחים יותר מ-8000 ₪? 8000=μ−σ\displaystyle {8000}={\mu-\sigma}, ומעליו הרצועה של 34% עד הממוצע, ועוד החצי שמעל הממוצע:

34%+50%=84%34\%+50\%=84\%
מספר העובדים מתוך כולם

מהאחוז מוצאים את המספר: האחוז כפול מספר הנתונים כולם.

בדוגמה שלפניכם נמצא כמה מ-400 הנציגים מרוויחים בין 9000 ₪ ל-11,000 ₪:

  • בין μ\displaystyle \mu ל-μ+2σ\displaystyle \mu+2\sigma יש שתי רצועות: 34%+13.5%=47.5%\displaystyle {34\%+13.5\%}={47.5\%}.
  • מתוך 400 נציגים: 0.475⋅400=190\displaystyle {0.475\cdot400}={190} נציגים.
תרגיל 1

ההכנסה היומית של דוכן פלאפל מתפלגת נורמלית.
ההכנסה הממוצעת היא 4000 ₪ ביום, וסטיית התקן 500 ₪.
בשנה יש לדוכן 200 ימי עבודה.

250030003500400045005000550034%34%13.5%13.5%2.5%2.5%הכנסה יומית (₪)
א

בכמה אחוזים מהימים ההכנסה היא בין 4000 ₪ ל-5000 ₪?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    בכמה אחוזים מהימים ההכנסה נמוכה מ-3000 ₪?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      בכמה ימים מתוך 200 ההכנסה גבוהה מ-3500 ₪?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        זמן המשלוח של חברת משלוחי אוכל מתפלג נורמלית.
        הזמן הממוצע הוא 40 דקות, וסטיית התקן 8 דקות.

        א

        כמה אחוזים מהמשלוחים נמשכים יותר מ-48 דקות?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          החברה מבטיחה: “המשלוח אצלכם תוך 56 דקות”.
          כמה אחוזים מהמשלוחים מאחרים?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            בערב אחד יצאו 1000 משלוחים.
            בערך כמה מהם נמשכו בין 32 ל-56 דקות?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              בשתי חברות השכר מתפלג נורמלית, והשכר הממוצע בשתיהן 9000 ₪.
              בחברה א’ סטיית התקן היא 1000 ₪, ובחברה ב’ – 2000 ₪.
              השטח המוצלל מתחת לכל עקומה: השכר מעל 11,000 ₪.

              200040006000800010000120001400016000חברה א׳חברה ב׳שכר חודשי (₪)
              א

              כמה אחוזים מהעובדים בחברה א’ מרוויחים יותר מ-11,000 ₪?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                כמה אחוזים מהעובדים בחברה ב’ מרוויחים יותר מ-11,000 ₪?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  הממוצע זהה בשתי החברות.
                  למה בחברה ב’ יש יותר עובדים עם שכר גבוה?
                  ובאיזו חברה יש יותר עובדים עם שכר נמוך מ-7000 ₪?