דלג לתוכן

הרווח כפרבולה

כלכלה ופיננסים, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 3 מתוך 16לימוד

הרווח כפרבולה

הכנסה, עלות ורווח

נועה מדפיסה חולצות עם הדפס ומוכרת אותן ברשת.
במחיר של p\displaystyle p שקלים לחולצה היא מוכרת בשבוע q=200−4p\displaystyle {q}={200-4p} חולצות.
כל חולצה עולה לה 15 ₪ (החולצה והדיו).
ההוצאות הקבועות שלה – השכרת המכונה והאתר – הן 600 ₪ בשבוע.

מחיר p\displaystyle p (₪)202530354045
חולצות q\displaystyle q12010080604020
הכנסה (₪)2,4002,5002,4002,1001,600900
עלות (₪)2,4002,1001,8001,5001,200900
רווח (₪)04006006004000
  • העלות היא 600+15q\displaystyle 600+15q: ההוצאות הקבועות ועוד 15 ₪ לכל חולצה.
  • הרווח הוא ההכנסה פחות העלות.
  • ההכנסה הגדולה ביותר בטבלה היא ב-25 ₪, אבל הרווח הגדול ביותר הוא בין 30 ₪ ל-35 ₪.
הנוסחה של הרווח
P=R−C\displaystyle P=R-C

R\displaystyle R – ההכנסה, C\displaystyle C – העלות. רווח שלילי הוא הפסד.

נכתוב את שלושתם כפונקציות של המחיר p\displaystyle p:

  • ההכנסה: R(p)=p(200−4p)=200p−4p2\displaystyle {R(p)}={p(200-4p)}={200p-4p^{2}}.
  • העלות: C(p)=600+15(200−4p)=600+3000−60p=3600−60p\displaystyle {C(p)}={600+15(200-4p)}={600+3000-60p}={3600-60p}.
  • הרווח: P(p)=200p−4p2−(3600−60p)=−4p2+260p−3600\displaystyle {P(p)}={200p-4p^{2}-(3600-60p)}={-4p^{2}+260p-3600}.

העלות יורדת כשהמחיר עולה, כי נמכרות פחות חולצות. הרווח הוא פרבולה שפניה למטה, כמו ההכנסה.

הגרף של הרווח

בגרף, x\displaystyle x הוא המחיר של חולצה, ו-y\displaystyle y השקלים בשבוע: הרווח P\displaystyle P, וההכנסה R\displaystyle R (המקווקו).

P(x)=−4x2+260x−3600\displaystyle P(x)=-4x^{2}+260x-3600
R(x)=x(200−4x)\displaystyle R(x)=x(200-4x)
V=(32.5,625)\displaystyle V=(32.5,625)
A=(20,0)\displaystyle A=(20,0)
B=(45,0)\displaystyle B=(45,0)
  • V\displaystyle V הוא הקודקוד של פרבולת הרווח: במחיר של 32.5 ₪ הרווח הוא 625 ₪ בשבוע, הגדול ביותר.
  • A\displaystyle A ו-B\displaystyle B הן נקודות החיתוך של פרבולת הרווח עם ציר ה-x\displaystyle x: ב-20 ₪ וב-45 ₪ הרווח הוא 0.
  • הקודקוד של ההכנסה, ב-25 ₪, משמאל לקודקוד של הרווח.
המחיר הרווחי ביותר
בדיקה: 32.5⋅70=2275\displaystyle {32.5\cdot70}={2275} ₪ הכנסה, 600+15⋅70=1650\displaystyle {600+15\cdot70}={1650} ₪ עלות, ו-2275−1650=625\displaystyle {2275-1650}={625}.

המחיר שנותן את הרווח הגדול ביותר הוא שיעור ה-x\displaystyle x של הקודקוד של P\displaystyle P:

p=−2602⋅(−4)=32.5p=-\frac{260}{2\cdot(-4)}=32.5
  • במחיר הזה נמכרות 200−4⋅32.5=70\displaystyle {200-4\cdot32.5}={70} חולצות בשבוע.
  • הרווח: P(32.5)=−4⋅32.52+260⋅32.5−3600=625\displaystyle {P(32.5)}={-4\cdot32.5^{2}+260\cdot32.5-3600}={625} ₪.
  • המחיר הרווחי ביותר גבוה מהמחיר שנותן את ההכנסה הגדולה ביותר (25 ₪): כל חולצה שנמכרת עולה 15 ₪, ולכן משתלם למכור פחות חולצות במחיר גבוה יותר.
מחירי האיזון

במחיר איזון ההכנסה שווה לעלות, והרווח הוא 0. אלה הפתרונות של המשוואה P(p)=0\displaystyle {P(p)}={0}:

−4p2+260p−3600=0-4p^{2}+260p-3600=0
  • נחלק ב-(−4)\displaystyle (-4): p2−65p+900=0\displaystyle {p^{2}-65p+900}={0}.
  • בנוסחת השורשים: p=65±4225−36002=65±252\displaystyle {p}={\frac{65\pm\sqrt{4225-3600}}{2}}={\frac{65\pm25}{2}}.
  • p=20\displaystyle {p}={20} או p=45\displaystyle {p}={45}.

בכל מחיר בין 20 ₪ ל-45 ₪ נועה מרוויחה. במחיר נמוך מ-20 ₪ ההכנסה לא מכסה את העלות, ובמחיר גבוה מ-45 ₪ נמכרות מעט מדי חולצות – בשני המקרים יש הפסד.

תרגיל 1

קונדיטוריה מוכרת ביום q=100−2p\displaystyle {q}={100-2p} עוגות, כש-p\displaystyle p הוא המחיר של עוגה בשקלים.
כל עוגה עולה לה 20 ₪.
ההוצאות הקבועות הן 250 ₪ ביום.
הרווח ביום הוא P(x)=x(100−2x)−(250+20(100−2x))\displaystyle {P(x)}={x(100-2x)-(250+20(100-2x))}, כש-x\displaystyle x הוא המחיר של עוגה.

א

פתחו את הסוגריים וכנסו איברים דומים.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    סמנו בגרף את הקודקוד של פרבולת הרווח, ואת הנקודות שבהן הרווח הוא 0.

    P(x)=−2x2+140x−2250\displaystyle P(x)=-2x^{2}+140x-2250

    ג

    פתרו את המשוואה: באילו מחירים הרווח הוא 0?

      ד

      באיזה מחיר כדאי לקונדיטוריה למכור עוגה, ומה הרווח ביום?
      באילו מחירים הקונדיטוריה מפסידה?

      מחיר עוגה (₪)

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        הרווח ביום (₪)

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          חברה מוכרת מנוי לאפליקציה של כושר.
          הרווח שלה בחודש, באלפי שקלים, הוא P(x)=−10x2+400x−3000\displaystyle {P(x)}={-10x^{2}+400x-3000}, כש-x\displaystyle x הוא המחיר החודשי של מנוי בשקלים.

          א

          איזה מחיר של מנוי נותן את הרווח הגדול ביותר?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            מה הרווח הגדול ביותר בחודש, באלפי שקלים?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ג

              פתרו את המשוואה: באילו מחירים הרווח הוא 0?

                ד

                חבר בהנהלה מציע מחיר של 35 ₪ לחודש.
                מה יקרה לחברה במחיר הזה?
                הסבירו בעזרת התשובות הקודמות.

                תרגיל 3

                בקונדיטוריה מתרגיל 1, ההכנסה ביום היא R(x)=x(100−2x)=−2x2+100x\displaystyle {R(x)}={x(100-2x)}={-2x^{2}+100x}.

                א

                איזה מחיר של עוגה נותן את ההכנסה הגדולה ביותר?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ב

                  למה המחיר הרווחי ביותר, שמצאתם בתרגיל 1, גבוה ממנו?