ההכנסה: מחיר כפול כמות

כלכלה ופיננסים, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 1 מתוך 16לימוד

ההכנסה: מחיר כפול כמות

העלאת מחיר שמרחיקה לקוחות

ההכנסה של עסק היא הכסף שהוא מקבל מהמכירות: המחיר של יחידה כפול מספר היחידות שנמכרו.

במועדון כושר יש 400 מנויים, וכל אחד משלם 100 ₪ לחודש.
מנהלת המועדון בודקת: כל העלאה של 5 ₪ במחיר החודשי מרחיקה 10 מנויים.

$\displaystyle x$ הוא מספר ההעלאות של 5 ₪:

העלאות $\displaystyle x$	0	2	4	6	8	10	12
מחיר (₪)	100	110	120	130	140	150	160
מנויים	400	380	360	340	320	300	280
הכנסה (₪)	40,000	41,800	43,200	44,200	44,800	45,000	44,800

בהתחלה כל העלאה מגדילה את ההכנסה: המחיר הגבוה מכסה על המנויים שעזבו.
ההכנסה עולה פחות ופחות, מגיעה לשיא ב-10 העלאות, ואחר כך יורדת.

ההכנסה כפרבולה

ההכנסה היא המחיר כפול הכמות:

\displaystyle R=p\cdot q

$\displaystyle p$ – המחיר של יחידה, $\displaystyle q$ – מספר היחידות שנמכרו (כאן: מנויים).

אחרי $\displaystyle x$ העלאות המחיר הוא $\displaystyle 100+5x$ , ומספר המנויים $\displaystyle 400-10x$ . לכן ההכנסה היא

R(x)=(100+5x)(400-10x)

נפתח את הסוגריים:

R(x)=40000-1000x+2000x-50x^{2}=-50x^{2}+1000x+40000

$\displaystyle R(x)$ היא פונקציה ריבועית: הגרף שלה הוא פרבולה.
המקדם של $\displaystyle x^{2}$ שלילי, $\displaystyle {a}={-50}$ : לפרבולה יש נקודה גבוהה ביותר – ההכנסה המרבית.
המקדם שלילי כי המחיר עולה ומספר המנויים יורד: במכפלה $\displaystyle 5x\cdot(-10x)$ יש מספר חיובי כפול מספר שלילי.

הגרף של ההכנסה

בגרף, $\displaystyle x$ הוא מספר ההעלאות, ו- $\displaystyle y$ ההכנסה בשקלים.

\displaystyle R(x)=(100+5x)(400-10x)

\displaystyle V=(10,45000)

הנקודה $\displaystyle V$ היא הקודקוד של הפרבולה: ב-10 העלאות, במחיר של 150 ₪, ההכנסה היא 45,000 ₪ – הגדולה ביותר.
משמאל לקודקוד ההכנסה עולה, ומימין לו היא יורדת.
הפרבולה סימטרית סביב הקודקוד: ב-8 העלאות וב-12 העלאות ההכנסה שווה, 44,800 ₪.
רק החלק שבו המחיר ומספר המנויים חיוביים מתאר את המועדון: $\displaystyle x$ בין $\displaystyle -20$ ל-40.

כמות שיורדת כשהמחיר עולה

בדיקה: ב-10 ₪,

\displaystyle {10\cdot300}={3000}

לפעמים יודעים ישר כמה יחידות נמכרות בכל מחיר.
במאפייה מוכרים ביום $\displaystyle {q}={500-20p}$ כיכרות לחם, כש- $\displaystyle p$ הוא המחיר של כיכר בשקלים.

כל שקל נוסף במחיר מוריד 20 כיכרות ביום: הכמות היא פונקציה קווית של המחיר, יורדת.
ההכנסה היא $\displaystyle {R(p)}={p(500-20p)}={500p-20p^{2}}$ – שוב פרבולה שפניה למטה.

מחיר $\displaystyle p$ (₪)	5	10	15	20	25
כיכרות $\displaystyle q$	400	300	200	100	0
הכנסה (₪)	2,000	3,000	3,000	2,000	0

ב-10 ₪ וב-15 ₪ ההכנסה שווה, ולכן הקודקוד באמצע ביניהם: במחיר של 12.5 ₪ ההכנסה היא $\displaystyle {12.5\cdot250}={3125}$ ₪.

תרגיל 1

בית קולנוע מוכר 300 כרטיסים להקרנה, כל כרטיס ב-40 ₪.
כל העלאה של 2 ₪ במחיר הכרטיס מורידה 10 כרטיסים.
$\displaystyle x$ הוא מספר ההעלאות של 2 ₪.

מה תהיה ההכנסה מהקרנה אחרי 3 העלאות?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

כתבו בלוח הגרפים את ההכנסה מהקרנה אחרי $\displaystyle x$ העלאות, $\displaystyle {y}={\dots}$

כדאי לבית הקולנוע להעלות את המחיר ב-2 ₪, פעם אחת?
הסבירו בחשבון.

תרגיל 2

בית דפוס מוכר 150 כרזות בשבוע, כל כרזה ב-20 ₪.
כל שקל נוסף במחיר מוריד 5 כרזות בשבוע.
אחרי $\displaystyle x$ העלאות של שקל ההכנסה היא $\displaystyle {R(x)}={(20+x)(150-5x)}$ .

פתחו את הסוגריים.

לאן פונה הפרבולה של ההכנסה, למעלה או למטה?
מה זה אומר על ההכנסה של בית הדפוס?

תרגיל 3

במכון שטיפת מכוניות שוטפים בשבוע $\displaystyle {q}={240-6p}$ מכוניות, כש- $\displaystyle p$ הוא המחיר של שטיפה בשקלים.

מה ההכנסה בשבוע כששטיפה עולה 20 ₪?

מה ההכנסה בשבוע כששטיפה עולה 30 ₪?

בגרף, $\displaystyle x$ הוא המחיר של שטיפה, ו- $\displaystyle y$ ההכנסה בשבוע.
סמנו את הנקודות שבהן ההכנסה היא 0.

\displaystyle R(x)=x(240-6x)

מה אומרת כל אחת מהנקודות שסימנתם על המכון?

נוסחאות: כלכלה ופיננסים, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הכנסה ורווח: מודל ריבועי

ההכנסה – $\displaystyle p$ המחיר של יחידה, $\displaystyle q$ מספר היחידות שנמכרו
$\displaystyle R=p\cdot q$
הרווח – ההכנסה פחות העלות
$\displaystyle P=R-C$
פרבולה – ההכנסה או הרווח כפונקציה של המחיר
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – שם ההכנסה או הרווח הגדולים ביותר (כש- $\displaystyle a<0$ )
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ $\displaystyle a\neq0$
נוסחת השורשים – המחירים שבהם ההכנסה או הרווח שווים 0
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

תכנון לינארי

אילוץ – אי־שוויון; הנקודות שמקיימות אותו הן חצי מישור
$\displaystyle ax+by\le c$
פונקציית המטרה – הרווח הגדול ביותר נמצא באחת מנקודות הקודקוד של תחום האפשרויות
$\displaystyle P=ax+by$

הנדסה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע בין שתי הנקודות
$\displaystyle M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של הישר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
משוואת הישר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ בשיפוע $\displaystyle m$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מקבילים – אותו שיפוע
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$

ההתפלגות הנורמלית

בהתפלגות נורמלית – $\displaystyle \mu$ הממוצע, $\displaystyle \sigma$ סטיית התקן: כ-68% מהנתונים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע (34% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-\sigma<x<\mu+\sigma)\approx68\%$
כ-95% בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע (עוד 13.5% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-2\sigma<x<\mu+2\sigma)\approx95\%$
כ-2.5% מעל $\displaystyle \mu+2\sigma$ , וכ-2.5% מתחת ל- $\displaystyle \mu-2\sigma$
$\displaystyle P(x>\mu+2\sigma)\approx2.5\%$
ציון התקן של הערך $\displaystyle x$ – בכמה סטיות תקן הוא גדול מהממוצע (או קטן ממנו, כש- $\displaystyle z<0$ )
$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
הערך שציון התקן שלו $\displaystyle z$
$\displaystyle x=\mu+z\cdot\sigma$