דלג לתוכן

ציון תקן ובקרת איכות

כלכלה ופיננסים, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 14 מתוך 16לימוד

ציון תקן ובקרת איכות

ציון תקן

ציון תקן, z\displaystyle z, אומר כמה סטיות תקן ערך רחוק מהממוצע: ההפרש בין הערך לממוצע, חלקי סטיית התקן.

z=x−μσ\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}
  • ערך מעל הממוצע – ציון התקן שלו חיובי; ערך מתחת לממוצע – שלילי.
  • ערך ששווה לממוצע – ציון התקן שלו 0.

במוקד שירות השכר הממוצע הוא μ=9000\displaystyle {\mu}={9000} ₪, וסטיית התקן σ=1000\displaystyle {\sigma}={1000} ₪. ציון התקן של שכר של 10,500 ₪:

z=10500−90001000=15001000=1.5z=\frac{10500-9000}{1000}=\frac{1500}{1000}=1.5

שכר של 7500 ₪ רחוק מהממוצע באותה מידה, אבל מתחתיו: z=7500−90001000=−1.5\displaystyle {z}={\frac{7500-9000}{1000}}={-1.5}.

השוואה בין שתי התפלגויות

ציון תקן משווה בין ערכים מהתפלגויות שונות: הוא אומר איפה כל ערך עומד ביחס לקבוצה שלו.

רשת חנויות רוצה לתת פרס למוכר הטוב ביותר:
דנה מכרה ביום 62 יחידות, בסניף שבו הממוצע 50 יחידות וסטיית התקן 6.
יוסי מכר ביום 75 יחידות, בסניף שבו הממוצע 60 יחידות וסטיית התקן 10.

בדוגמה שלפניכם נחשב את ציון התקן של כל אחד מהם:

  • דנה: z=62−506=126=2\displaystyle {z}={\frac{62-50}{6}}={\frac{12}{6}}={2}.
  • יוסי: z=75−6010=1510=1.5\displaystyle {z}={\frac{75-60}{10}}={\frac{15}{10}}={1.5}.

יוסי מכר יותר יחידות, אבל דנה רחוקה יותר מעל הממוצע של הסניף שלה: ביחס לסניף, היא המוכרת הטובה יותר.

ערך מתוך אחוז

לפעמים יודעים את האחוז ומחפשים את הערך. כלל 34/13.5/2.5 נותן את המקום על הציר, ומשם הערך:

x\displaystyle x =\displaystyle = μ+z⋅σ\displaystyle \mu+z\cdot\sigma

בסניף של דנה (ממוצע 50, סטיית תקן 6) הרשת נותנת בונוס ל-2.5% מהימים שבהם המכירות הכי גבוהות. מכמה יחידות ביום?

  • מעל μ+2σ\displaystyle \mu+2\sigma נמצאים 2.5% העליונים, כלומר z=2\displaystyle {z}={2}.
  • x=50+2⋅6=62\displaystyle {x}={50+2\cdot6}={62} יחידות.

ו-16% העליונים? מעל μ+σ\displaystyle \mu+\sigma נמצאים 13.5%+2.5%=16%\displaystyle {13.5\%+2.5\%}={16\%}, ולכן מ-50+6=56\displaystyle {50+6}={56} יחידות ביום.

בקרת איכות

מכונה ממלאת בקבוקי מיץ של ליטר.
הכמות בבקבוק מתפלגת נורמלית: הממוצע 1000 מ"ל, וסטיית התקן 4 מ"ל.
בקבוק שהכמות בו רחוקה מהממוצע יותר משתי סטיות תקן יורד מהפס.

  • μ−2σ=1000−2⋅4=992\displaystyle {\mu-2\sigma}={1000-2\cdot4}={992} מ"ל, ו-μ+2σ=1008\displaystyle {\mu+2\sigma}={1008} מ"ל.
  • בקבוק עם פחות מ-992 מ"ל או יותר מ-1008 מ"ל יורד מהפס.
988992996100010041008101234%34%13.5%13.5%2.5%2.5%כמות המיץ בבקבוק (מ"ל)
  • 95% מהבקבוקים נמצאים בין 992 ל-1008 מ"ל, ולכן 2.5%+2.5%=5%\displaystyle {2.5\%+2.5\%}={5\%} יורדים מהפס.
  • מתוך 1000 בקבוקים: 0.05⋅1000=50\displaystyle {0.05\cdot1000}={50} בקבוקים בערך.

כך בודקים גם את המכונה עצמה: אם בשעה של 1000 בקבוקים ירדו מהפס 120 – הרבה יותר מ-50 – כנראה שהמכונה התקלקלה, וצריך לכוון אותה.

תרגיל 1

בחברת הייטק השכר החודשי מתפלג נורמלית.
השכר הממוצע הוא 20,000 ₪, וסטיית התקן 4000 ₪.

א

מהו ציון התקן של שכר של 26,000 ₪?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    מהו ציון התקן של שכר של 14,000 ₪?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      ציון התקן של השכר של מיכל הוא −0.5\displaystyle -0.5.
      כמה מרוויחה מיכל?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        נועה ואמיר מנהלים שני סניפים של רשת קפה.
        ביום שישי ההכנסה בסניף של נועה הייתה 8400 ₪. בסניף שלה ההכנסה הממוצעת ביום שישי היא 7000 ₪, וסטיית התקן 700 ₪.
        ההכנסה בסניף של אמיר הייתה 12,000 ₪. בסניף שלו ההכנסה הממוצעת ביום שישי היא 10,000 ₪, וסטיית התקן 1250 ₪.

        א

        מהו ציון התקן של ההכנסה בסניף של נועה?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          מהו ציון התקן של ההכנסה בסניף של אמיר?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            איזה סניף הצליח יותר ביום שישי הזה, ביחס לימי שישי הרגילים שלו?
            הסבירו.

            תרגיל 3

            זמן המשלוח של חנות אינטרנט מתפלג נורמלית.
            הזמן הממוצע הוא 30 שעות, וסטיית התקן 5 שעות.

            א

            החנות נותנת קופון הנחה על 2.5% מהמשלוחים האיטיים ביותר.
            ממשלוח של כמה שעות מקבלים קופון?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              16% מהמשלוחים הם המהירים ביותר.
              עד כמה שעות נמשך משלוח כזה?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 4

                מכונה ממלאת שקיות קפה.
                המשקל של הקפה בשקית מתפלג נורמלית: הממוצע 250 גרם, וסטיית התקן 2 גרם.
                שקית שהמשקל שלה רחוק מהממוצע יותר משתי סטיות תקן יורדת מהפס.

                א

                בין אילו משקלים שקית נשארת על הפס?

                הגבול התחתון

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  הגבול העליון

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ב

                    ביום אחד המכונה ממלאת 2000 שקיות.
                    בערך כמה מהן יורדות מהפס?

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      ג

                      ביום אחר ירדו מהפס 300 שקיות מתוך 2000.
                      מה זה אומר על המכונה?