היקף המעגל ומסלול ריצה

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 2 מתוך 15לימוד

היקף המעגל ומסלול ריצה

היקף המעגל

בכל מעגל, ההיקף גדול פי $\displaystyle \pi$ מהקוטר. $\displaystyle \pi$ הוא מספר שהספרות שלו אחרי הנקודה לא נגמרות: $\displaystyle 3.14159\ldots$ , ובחישובים נשתמש בקירוב $\displaystyle \pi\approx3.14$ .

$\displaystyle d$ – הקוטר, $\displaystyle r$ – הרדיוס; הקוטר הוא פעמיים הרדיוס: $\displaystyle {d}={2r}$ .

\displaystyle P

\displaystyle =

\displaystyle \pi d

\displaystyle P

\displaystyle =

\displaystyle 2\pi r

דוגמה. בריכה עגולה, הרדיוס שלה 5 מ’, ומסביב לה גדר בטיחות.
אורך הגדר: $\displaystyle {2\cdot3.14\cdot5}={31.4}$ מ'.

חצי מעגל: חלון קשתי

לחלון יש צורה של מלבן, ומעליו חצי עיגול. המידות בציור במטרים.
בדוגמה שלפניכם נחשב כמה מטרים של מסגרת צריך מסביב לחלון.

הקו המקווקו אינו חלק מהמסגרת: הוא רק מפריד בין החלקים.
שלוש הצלעות של המלבן: $\displaystyle {1.5+1+1.5}={4}$ מ'.
הקשת היא חצי מהיקף של מעגל שהקוטר שלו 1 מ’: $\displaystyle {\frac{3.14\cdot1}{2}}={1.57}$ מ'.
המסגרת כולה: $\displaystyle {4+1.57}={5.57}$ מ'.

מסלול ריצה

מסלול ריצה באצטדיון בנוי משני קטעים ישרים ושני חצאי מעגל בקצוות. המידות בציור במטרים, לאורך הקו הפנימי של המסלול.

שני הקטעים הישרים: $\displaystyle {2\cdot100}={200}$ מ'.
שני חצאי המעגל יוצרים יחד מעגל שלם שהקוטר שלו 64 מ’: $\displaystyle {3.14\cdot64}={200.96}$ מ'.
הקפה אחת: $\displaystyle {200+200.96}={400.96}$ מ’ – קרוב מאוד ל-400 מ'.

המסלול החיצוני ארוך יותר

במסלול יש כמה מסלולים זה לצד זה. מי שרץ במסלול החיצוני רץ על מעגל גדול יותר בקצוות.

הקטעים הישרים שווים בכל המסלולים.
אם המסלול החיצוני רחוק 1 מ’ מהפנימי מכל צד, הקוטר שלו גדול ב-2 מ’: 66 מ’ במקום 64.
ההקפה בו ארוכה יותר ב- $\displaystyle {3.14\cdot2}={6.28}$ מ'.
לכן בריצת הקפה הרצים לא מתחילים באותו קו: מי שבמסלול החיצוני מתחיל קצת לפני האחרים.

תרגיל 1

חשבו את האורך ( $\displaystyle \pi\approx3.14$ ).

ההיקף של מגש עגול שהקוטר שלו 50 ס"מ

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

ההיקף של מזרקה עגולה שהרדיוס שלה 1.5 מ'

שוליים מסביב לערוגה בצורת חצי עיגול שהקוטר שלה 4 מ’ – הקשת והקוטר

תרגיל 2

מסביב למגרש בית ספר יש מסלול ריצה.
המידות בציור במטרים, לאורך הקו הפנימי של המסלול.

האורך של הקפה אחת, במטרים

בכמה מטרים ארוכה יותר הקפה במסלול שהקוטר שלו גדול ב-6 מ'?

תרגיל 3

ההיקף של גזע עץ הוא 157 ס"מ.
מצאו את הקוטר של הגזע, בס"מ: פתרו את המשוואה.

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

היקפים

היקף מלבן – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ שתי צלעות שנפגשות בקודקוד
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(a+b)$
היקף ריבוע – $\displaystyle a$ אורך הצלע
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4a$
פאי
$\displaystyle \pi\approx3.14$
היקף המעגל – $\displaystyle d$ הקוטר
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi d$
היקף המעגל – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r$

מסלולים: פיתגורס, דרך, מהירות וזמן

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2$
היתר
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$
ניצב
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{c^2-b^2}$
מהירות – $\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{t}$
דרך
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$
זמן
$\displaystyle t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{v}$

שטחים

שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$
שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח העיגול – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2$
מטר רבוע בסנטימטרים רבועים (דונם אחד הוא 1000 מ"ר)
$\displaystyle 1\text{ m}^2=100\cdot100\text{ cm}^2=10000\text{ cm}^2$

ריצופים

סכום הזוויות במצולע בעל $\displaystyle n$ צלעות
$\displaystyle 180^{\circ}\cdot(n-2)$
זווית של מצולע משוכלל בעל $\displaystyle n$ צלעות
$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}$
סכום הזוויות סביב קודקוד בריצוף
$\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\ldots=360^{\circ}$