ריצופים משוכללים

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 13 מתוך 15לימוד

ריצופים משוכללים

מצולע משוכלל

מצולע משוכלל הוא מצולע שכל הצלעות שלו שוות וכל הזוויות שלו שוות: משולש שווה צלעות, ריבוע, מחומש משוכלל, משושה משוכלל …

ריצוף משוכלל הוא ריצוף במצולעים משוכללים מסוג אחד ובגודל אחד, שנפגשים קודקוד אל קודקוד. בציורים: ריצוף במשולשים, בריבועים ובמשושים.

הזווית של מצולע משוכלל

אלכסונים מקודקוד אחד חותכים מצולע בעל $\displaystyle n$ צלעות ל- $\displaystyle n-2$ משולשים. בציור: משושה, $\displaystyle {6-2}={4}$ משולשים.

סכום הזוויות בכל משולש הוא $\displaystyle 180^\circ$ , ולכן סכום הזוויות במצולע:

\displaystyle 180^{\circ}\cdot(n-2)

במצולע משוכלל כל $\displaystyle n$ הזוויות שוות, ולכן כל זווית היא:

\displaystyle \alpha

\displaystyle =

\displaystyle \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}

המצולע	$\displaystyle n$	הזווית
משולש שווה צלעות	3	$\displaystyle 60^\circ$
ריבוע	4	$\displaystyle 90^\circ$
מחומש משוכלל	5	$\displaystyle 108^\circ$
משושה משוכלל	6	$\displaystyle 120^\circ$
מתומן משוכלל	8	$\displaystyle 135^\circ$

תרגיל 1

חשבו את הזווית של המצולע המשוכלל, במעלות.

מחומש,

\displaystyle {n}={5}

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

מעושר – 10 צלעות

מצולע משוכלל בעל 12 צלעות

הזוויות סביב קודקוד

בריצוף, הזוויות שנפגשות בקודקוד אחד ממלאות את כל הסיבוב סביבו, בלי רווח ובלי חפיפה: הסכום שלהן $\displaystyle 360^\circ$ . לכן מצולע משוכלל מרצף לבד רק אם $\displaystyle 360^\circ$ מתחלק בזווית שלו.

משולש: $\displaystyle {360:60}={6}$ – שישה משולשים בכל קודקוד.
ריבוע: $\displaystyle {360:90}={4}$ .
משושה: $\displaystyle {360:120}={3}$ .
מחומש: $\displaystyle {360:108}={3.33\ldots}$ – שלושה מחומשים משאירים רווח של $\displaystyle {360-3\cdot108}={36^\circ}$ , ולארבעה אין מקום. בציור: הרווח בין שלושה מחומשים.
מצולע עם יותר מ-6 צלעות: הזווית גדולה מ- $\displaystyle 120^\circ$ וקטנה מ- $\displaystyle 180^\circ$ , ולכן שלוש זוויות הן יותר מ- $\displaystyle 360^\circ$ ושתיים – פחות.
לכן יש רק שלושה ריצופים משוכללים: במשולשים, בריבועים ובמשושים. כוורת של דבורים בנויה ממשושים.

תרגיל 2

הזווית של מצולע משוכלל בעל 12 צלעות היא $\displaystyle 150^\circ$ .
האם אפשר לרצף רצפה רק במצולעים כאלה? הסבירו בעזרת הזוויות סביב קודקוד.

ריצוף בשני מצולעים

אפשר לרצף גם בכמה סוגים של מצולעים משוכללים יחד, כל עוד הזוויות בכל קודקוד מסתכמות ב- $\displaystyle 360^\circ$ .

בריצוף שבציור, בכל קודקוד נפגשים שני מתומנים וריבוע: $\displaystyle {135+135+90}={360}$ .
ריצוף כזה נפוץ בחדרי אמבטיה ובמטבחים.

תרגיל 3

בכל קודקוד של ריצוף נפגשים המצולעים המשוכללים שבהערה. חשבו כמה מעלות נשארות לשאר הקודקוד.

שני משושים ושני משולשים

מצולע בעל 12 צלעות, ועוד אחד כמוהו

בסעיף 1 לא נשאר רווח – זה ריצוף. בסעיף 2 נשאר רווח: איזה מצולע משוכלל ממלא אותו?

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

היקפים

היקף מלבן – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ שתי צלעות שנפגשות בקודקוד
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(a+b)$
היקף ריבוע – $\displaystyle a$ אורך הצלע
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4a$
פאי
$\displaystyle \pi\approx3.14$
היקף המעגל – $\displaystyle d$ הקוטר
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi d$
היקף המעגל – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r$

מסלולים: פיתגורס, דרך, מהירות וזמן

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2$
היתר
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$
ניצב
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{c^2-b^2}$
מהירות – $\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{t}$
דרך
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$
זמן
$\displaystyle t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{v}$

שטחים

שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$
שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח העיגול – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2$
מטר רבוע בסנטימטרים רבועים (דונם אחד הוא 1000 מ"ר)
$\displaystyle 1\text{ m}^2=100\cdot100\text{ cm}^2=10000\text{ cm}^2$

ריצופים

סכום הזוויות במצולע בעל $\displaystyle n$ צלעות
$\displaystyle 180^{\circ}\cdot(n-2)$
זווית של מצולע משוכלל בעל $\displaystyle n$ צלעות
$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}$
סכום הזוויות סביב קודקוד בריצוף
$\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\ldots=360^{\circ}$