מסלולים: אורך של מסלול במפה ובשכונה

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 4 מתוך 15לימוד

מסלולים: אורך של מסלול במפה ובשכונה

מסלול ואורכו

מסלול הוא דרך ממקום למקום לאורך כבישים, שבילים או רחובות. האורך של מסלול הוא סכום האורכים של הקטעים שלו.

במפה שלפניכם חמישה יישובים, $\displaystyle A$ עד $\displaystyle E$ , והכבישים ביניהם. ליד כל כביש כתוב האורך שלו בק"מ. המפה אינה מדויקת: האורכים כתובים, ולא נמדדים בסרגל.

המסלול הקצר ביותר

יואב גר ב- $\displaystyle A$ ולומד ב- $\displaystyle E$ . בדוגמה שלפניכם נמצא את המסלול הקצר ביותר מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle E$ : נעבור על כל המסלולים שלא חוזרים לאותו יישוב פעמיים.

$\displaystyle A\to B\to E$ : $\displaystyle {12+9}={21}$ ק"מ.
$\displaystyle A\to B\to D\to E$ : $\displaystyle {12+4+6}={22}$ ק"מ.
$\displaystyle A\to C\to D\to E$ : $\displaystyle {7+5+6}={18}$ ק"מ.
$\displaystyle A\to C\to D\to B\to E$ : $\displaystyle {7+5+4+9}={25}$ ק"מ.
הקצר ביותר: $\displaystyle A\to C\to D\to E$ , 18 ק"מ – אף על פי שהוא עובר ב-3 כבישים, ו- $\displaystyle A\to B\to E$ רק ב-2.

תרגיל 1

היעזרו במפה שלמעלה. כמה ק"מ?

המסלול

\displaystyle E\to D\to C\to A

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

המסלול הקצר ביותר מ-

\displaystyle B

ל-

\displaystyle C

המסלול הקצר ביותר מ-

\displaystyle A

ל-

\displaystyle D

מסלול ברחובות של שכונה

בשכונה שלפניכם הרחובות ישרים, וכולם נפגשים בזוויות ישרות – כמו הקווים של דף משבצות. המרחק בין שתי הצטלבויות סמוכות הוא 100 מ’.
נועה הולכת מהבית, $\displaystyle A$ , לחברה שגרה ב- $\displaystyle B$ .

$\displaystyle B$ נמצאת 4 רחובות ימינה ו-3 רחובות למעלה מ- $\displaystyle A$ .
בכל מסלול צריך ללכת בסך הכול 4 קטעים ימינה ו-3 למעלה: $\displaystyle {4+3}={7}$ קטעים, $\displaystyle {7\cdot100}={700}$ מ'.
יש הרבה מסלולים כאלה – המסלול בציור, $\displaystyle A\to P\to Q\to B$ , הוא רק אחד מהם – ולכולם אותו אורך, 700 מ'.
מסלול שהולך גם שמאלה או למטה ארוך יותר: כל קטע כזה צריך לחזור עליו בכיוון ההפוך.

תרגיל 2

בשכונה, המרחק בין שתי הצטלבויות סמוכות הוא 50 מ’.
אורי הלך מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle B$ במסלול $\displaystyle A\to P\to Q\to B$ .

האורך של המסלול של אורי, במטרים

האורך של המסלול הקצר ביותר מ-

\displaystyle A

ל-

\displaystyle B

ברחובות, במטרים

בכמה מטרים המסלול של אורי ארוך יותר?

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

היקפים

היקף מלבן – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ שתי צלעות שנפגשות בקודקוד
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(a+b)$
היקף ריבוע – $\displaystyle a$ אורך הצלע
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4a$
פאי
$\displaystyle \pi\approx3.14$
היקף המעגל – $\displaystyle d$ הקוטר
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi d$
היקף המעגל – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r$

מסלולים: פיתגורס, דרך, מהירות וזמן

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2$
היתר
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$
ניצב
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{c^2-b^2}$
מהירות – $\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{t}$
דרך
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$
זמן
$\displaystyle t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{v}$

שטחים

שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$
שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח העיגול – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2$
מטר רבוע בסנטימטרים רבועים (דונם אחד הוא 1000 מ"ר)
$\displaystyle 1\text{ m}^2=100\cdot100\text{ cm}^2=10000\text{ cm}^2$

ריצופים

סכום הזוויות במצולע בעל $\displaystyle n$ צלעות
$\displaystyle 180^{\circ}\cdot(n-2)$
זווית של מצולע משוכלל בעל $\displaystyle n$ צלעות
$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}$
סכום הזוויות סביב קודקוד בריצוף
$\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\ldots=360^{\circ}$