דלג לתוכן

קיצור דרך: משפט פיתגורס

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 5 מתוך 15לימוד

קיצור דרך: משפט פיתגורס

משפט פיתגורס

במשולש ישר־זווית, שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה הן הניצבים, a\displaystyle a ו-b\displaystyle b, והצלע שמול הזווית הישרה היא היתר, c\displaystyle c – הצלע הארוכה ביותר.

c2\displaystyle c^2 =\displaystyle = a2+b2\displaystyle a^2+b^2
  • לכן היתר הוא השורש של סכום הריבועים:
c\displaystyle c =\displaystyle = a2+b2\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}
דוגמה: חצייה של פארק באלכסון

פארק בצורת מלבן ABCD\displaystyle ABCD, 80 מ’ על 60 מ’.
שירה צריכה להגיע מהפינה A\displaystyle A לפינה C\displaystyle C.
בדוגמה שלפניכם נשווה בין ההליכה לאורך שתי הצלעות לבין ההליכה בשביל האלכסוני AC\displaystyle AC.

  • לאורך הצלעות, A→B→C\displaystyle A\to B\to C: 80+60=140\displaystyle {80+60}={140} מ'.
  • המשולש ABC\displaystyle ABC ישר־זווית ב-B\displaystyle B, ו-AC\displaystyle AC הוא היתר: AC=802+602=6400+3600=10000=100\displaystyle {AC}={\sqrt{80^2+60^2}}={\sqrt{6400+3600}}={\sqrt{10000}}={100} מ'.
  • בשביל האלכסוני שירה חוסכת 140−100=40\displaystyle {140-100}={40} מ'.
  • קו ישר הוא תמיד הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; פיתגורס אומר כמה היא קצרה.
תרגיל 1

חשבו את האורך של השביל האלכסוני, במטרים.

א
מדשאה מלבנית, 120 מ’ על 50 מ'

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    חצר מלבנית, 12 מ’ על 9 מ'

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      מגרש כדורגל, 100 מ’ על 75 מ'

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        קו ישר על דף משבצות

        על דף משבצות, קו ישר מ-A\displaystyle A ל-B\displaystyle B הוא היתר של משולש ישר־זווית שהניצבים שלו על קווי המשבצות.
        כאן B\displaystyle B נמצאת 4 משבצות ימינה ו-3 משבצות למעלה מ-A\displaystyle A.

        • לאורך קווי המשבצות: 4+3=7\displaystyle {4+3}={7} משבצות.
        • בקו ישר: 42+32=25=5\displaystyle {\sqrt{4^2+3^2}}={\sqrt{25}}={5} משבצות.
        תרגיל 2

        רוכב אופניים יצא מכפר, רכב 9 ק"מ מזרחה, ואחר כך 12 ק"מ צפונה.
        הכבישים פוגשים זה את זה בזווית ישרה.

        א
        מה האורך של דרך ישרה מהכפר אל המקום שהגיע אליו, בק"מ?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          בכמה ק"מ הדרך הישרה קצרה יותר?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            על מפה משורטטת רשת של משבצות, וכל משבצת היא ריבוע של 10 מ’ על 10 מ’.
            המעיין נמצא 6 משבצות ימינה ו-8 משבצות למעלה מהחניון.

            א
            דרך שהולכת לאורך קווי המשבצות, במטרים

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב
              דרך בקו ישר, במטרים

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                מציאת ניצב

                כשהיתר וניצב אחד ידועים, מוצאים את הניצב השני: מחסרים מריבוע היתר את ריבוע הניצב הידוע.

                a\displaystyle a =\displaystyle = c2−b2\displaystyle \sqrt{c^2-b^2}

                דוגמה. שביל באורך 13 מ’ חוצה באלכסון חצר מלבנית שהרוחב שלה 5 מ’.
                האורך של החצר: 132−52=169−25=144=12\displaystyle {\sqrt{13^2-5^2}}={\sqrt{169-25}}={\sqrt{144}}={12} מ'.

                תרגיל 4

                שביל אלכסוני באורך 25 מ’ חוצה מגרש מלבני שהרוחב שלו 7 מ’.
                מצאו את האורך של המגרש, במטרים.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה