דלג לתוכן

מדידת גבהים ומרחקים בעזרת דמיון

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 6 מתוך 15לימוד

מדידת גבהים ומרחקים בעזרת דמיון

גובה לפי הצל

באותה שעה, קרני השמש מקבילות זו לזו, ולכן הן פוגעות בקרקע בכל מקום באותה זווית α\displaystyle \alpha.
מקל זקוף באורך 1 מ’ מטיל צל של 1.6 מ’, ועץ מטיל צל של 12 מ':

  • המקל והצל שלו, והעץ והצל שלו, יוצרים שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה α\displaystyle \alpha, ולכן המשולשים דומים.
  • יחס הדמיון: k=121.6=7.5\displaystyle {k}={\frac{12}{1.6}}={7.5}.
  • גובה העץ: h=7.5⋅1=7.5\displaystyle {h}={7.5\cdot1}={7.5} מ'.

גובה העצם H\displaystyle H חלקי הצל שלו S\displaystyle S שווה לגובה המקל h\displaystyle h חלקי הצל שלו s\displaystyle s:

HS\displaystyle \frac{H}{S} =\displaystyle = hs\displaystyle \frac{h}{s}
תרגיל 1

הצל של בניין ארוך 18 מ’.
באותה שעה, הצל של אדם שגובהו 1.8 מ’ ארוך 2.4 מ’.
מה גובה הבניין, במטרים?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    תורן דגל שגובהו 6 מ’ מטיל צל של 4.5 מ’.
    באותה שעה, הצל של עץ ארוך 7.2 מ’.
    מה גובה העץ, במטרים?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      גובה בעזרת מראה

      ביום מעונן אין צל. מניחים מראה M\displaystyle M על הקרקע, ומתרחקים ממנה עד שרואים בה את ראש העץ K\displaystyle K:

      • האור חוזר מהמראה באותה זווית שבה פגע בה, ולכן הזווית α\displaystyle \alpha שליד המראה שווה בשני המשולשים.
      • לשני המשולשים יש גם זווית ישרה – ולכן הם דומים.
      • h1.6=152=7.5\displaystyle {\frac{h}{1.6}}={\frac{15}{2}}={7.5}, ולכן h=1.6⋅7.5=12\displaystyle {h}={1.6\cdot7.5}={12} מ'.
      תרגיל 3

      העיניים של נועה בגובה 1.5 מ’.
      היא עומדת 1.2 מ’ מהמראה, והמראה נמצאת 20 מ’ מהבניין.
      נועה רואה במראה את ראש הבניין.
      מה גובה הבניין, במטרים?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        רוחב בעזרת קטע מקביל

        את הרוחב BC\displaystyle BC של בריכה אי אפשר למדוד ישירות: המים מפריעים. מסמנים נקודה A\displaystyle A ביבשה, ועל הקווים AB\displaystyle AB ו-AC\displaystyle AC מסמנים את D\displaystyle D ואת E\displaystyle E, כך ש-DE∥BC\displaystyle DE\parallel BC:

        • הישר DE\displaystyle DE מקביל ל-BC\displaystyle BC, ולכן הזוויות המתאימות שוות, והמשולשים ADE\displaystyle ADE ו-ABC\displaystyle ABC דומים.
        • הצלע AB\displaystyle AB היא AD+DB\displaystyle AD+DB, ויחס הדמיון הוא ABAD\displaystyle \frac{AB}{AD}.
        תרגיל 4

        בשרטוט: AD=12\displaystyle {AD}={12} מ’, DB=8\displaystyle {DB}={8} מ’, DE=15\displaystyle {DE}={15} מ’.
        מה רוחב הבריכה BC\displaystyle BC, במטרים?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 5

          כבש ישר עולה מהקרקע.
          2 מ’ מתחילת הכבש, במדידה על הקרקע, עומד מתחתיו עמוד תמיכה בגובה 0.6 מ’.
          בקצה הכבש, 5 מ’ מתחילתו, עומד עמוד נוסף.
          מה גובה העמוד הנוסף, במטרים?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה