דלג לתוכן

צורות דומות

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"א (3 יח"ל) שיעור 5 מתוך 15לימוד

צורות דומות

צורות דומות

שתי צורות דומות כשאחת מהן היא הגדלה או הקטנה של השנייה.

  • כל האורכים גדלים או קטנים פי אותו מספר, k\displaystyle k – יחס הדמיון.
  • הזוויות לא משתנות, ולכן הצורה נשארת אותה צורה.
  • מפה ודגם דומים למקור, ויחס הדמיון שלהם הוא קנה המידה.
הגדלה של תמונה

תמונה של 10 ס"מ על 15 ס"מ מגדילים לתמונה של 20 ס"מ על 30 ס"מ:

  • 2010=2\displaystyle {\frac{20}{10}}={2} ו-3015=2\displaystyle {\frac{30}{15}}={2}: שני האורכים גדלו פי 2, ולכן התמונות דומות, ו-k=2\displaystyle {k}={2}.
  • תמונה של 20 ס"מ על 25 ס"מ אינה דומה לה: 2010=2\displaystyle {\frac{20}{10}}={2}, אבל 2515≈1.67\displaystyle \frac{25}{15}\approx1.67.
  • תמונה שמדפיסים על דף כזה בלי לחתוך אותה נמתחת לאורך פחות מאשר לרוחב, והפנים שבה נראים רחבים מדי.
תרגיל 1

תמונה של 9 ס"מ על 13 ס"מ רוצים להגדיל בלי לחתוך אותה ובלי לעוות אותה.
איזו מהמסגרות מתאימה לה: 18 ס"מ על 26 ס"מ, 27 ס"מ על 39 ס"מ, 20 ס"מ על 30 ס"מ?
הסבירו.

תרגיל 2

תמונה של 6 ס"מ על 9 ס"מ מגדילים, כך שהצלע של 6 ס"מ נעשית 15 ס"מ.
כמה ס"מ תהיה הצלע השנייה?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    השטח בהגדלה

    בהגדלה פי k\displaystyle k, השטח גדל פי k2\displaystyle k^2: האורך גדל פי k\displaystyle k, וגם הרוחב, והשטח הוא המכפלה שלהם.

    • התמונה של 10 על 15: 150\displaystyle 150 סמ"ר. התמונה של 20 על 30: 600\displaystyle 600 סמ"ר.
    • 600:150=4=22\displaystyle {600:150}={4}={2^2}.
    • כך בכל שתי צורות דומות – גם במשולשים ובעיגולים: כל משבצת קטנה בצורה גדלה פי k\displaystyle k לאורך ופי k\displaystyle k לרוחב.

    כש-S1\displaystyle S_1 ו-S2\displaystyle S_2 הם השטחים של שתי צורות דומות, ויחס הדמיון מהראשונה לשנייה הוא k\displaystyle k:

    S2S1\displaystyle \frac{S_2}{S_1} =\displaystyle = k2\displaystyle k^{2}
    דוגמה: שתי פיצות

    בפיצרייה, פיצה בקוטר 30 ס"מ עולה 40 ₪, ופיצה בקוטר 40 ס"מ עולה 60 ₪.
    איזו מהן משתלמת יותר?

    בפתרון שלפניכם נשווה את יחס השטחים ליחס המחירים.

    • כל שני עיגולים דומים, ויחס הדמיון הוא יחס הקטרים: k=4030=43\displaystyle {k}={\frac{40}{30}}={\frac{4}{3}}.
    • יחס השטחים: k2=169≈1.78\displaystyle {k^2}={\frac{16}{9}\approx1.78} – בפיצה הגדולה יש פי 1.78\displaystyle 1.78 פיצה.
    • המחיר גדל רק פי 6040=1.5\displaystyle {\frac{60}{40}}={1.5}, ולכן הפיצה הגדולה משתלמת יותר.
    תרגיל 3

    פוסטר הוא הגדלה פי 3 של תמונה בגודל 20 ס"מ על 30 ס"מ.

    א
    שטח התמונה, בסמ"ר

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב
      שטח הפוסטר, בסמ"ר

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 4

        דף A3 דומה לדף A4, ושטחו כפול משטח דף A4.
        מה יחס הדמיון מדף A4 לדף A3?
        עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 5

          שתי ערוגות דומות, ויחס הדמיון מהקטנה לגדולה הוא 1.5.
          לערוגה הקטנה צריך 4 ק"ג דשן.
          כמה ק"ג דשן צריך לערוגה הגדולה?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה