סינוס, קוסינוס וטנגנס

במשולש ישר זווית, מול הזווית הישרה נמצא היתר – הצלע הארוכה ביותר. לכל אחת משתי הזוויות החדות יש:

• ניצב מול הזווית – הניצב שלא נוגע בה;
• ניצב ליד הזווית – הניצב שהוא אחת משתי הצלעות של הזווית.

בשרטוט, ליד הזווית $\displaystyle \alpha$: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle b$ הניצב ליד $\displaystyle \alpha$, ו-$\displaystyle c$ היתר. ליד הזווית $\displaystyle B$ התפקידים מתחלפים: $\displaystyle b$ מולה, ו-$\displaystyle a$ לידה.

כל המשולשים ישרי הזווית שיש להם אותה זווית חדה $\displaystyle \alpha$ דומים זה לזה (ז.ז): בכולם יש זווית ישרה וזווית $\displaystyle \alpha$. לכן היחס בין שתי צלעות זהה בכולם – הוא תלוי רק בזווית, ולא בגודל המשולש. למשל, בכל משולש ישר זווית שיש בו זווית של $\displaystyle 30^\circ$, הניצב מול הזווית הוא חצי מהיתר.

לשלושת היחסים יש שמות:

• סינוס – הניצב מול הזווית חלקי היתר:

• קוסינוס – הניצב ליד הזווית חלקי היתר:

• טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב ליד הזווית:

את הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של כל זווית נותן המחשבון – כשהוא מכוון למעלות (DEG על המסך).

• $\displaystyle {\sin30^\circ}={0.5}$, בדיוק.
• $\displaystyle {\tan40^\circ}={0.8390996\ldots}$ – מספר שלא נגמר. מעגלים אותו, למשל לשתי ספרות אחרי הנקודה, וכותבים $\displaystyle \tan40^\circ\approx0.84$.
• הסימן $\displaystyle \approx$ פירושו “שווה בקירוב”: המספר שאחריו הוא עיגול של מה שלפניו.

חשבו, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

במשולש ישר הזווית שבשרטוט, הניצבים 3 ו-4, והיתר 5:

• $\displaystyle {\sin\alpha}={\frac{3}{5}}={0.6}$: הניצב מול $\displaystyle \alpha$ הוא 3.
• $\displaystyle {\cos\alpha}={\frac{4}{5}}={0.8}$: הניצב ליד $\displaystyle \alpha$ הוא 4.
• $\displaystyle {\tan\alpha}={\frac{3}{4}}={0.75}$.

במשולש ישר הזווית שבשרטוט, הניצבים 5 ו-12, והיתר 13.
כתבו את היחס, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

למה הסינוס של זווית חדה במשולש ישר זווית קטן תמיד מ-1?
האם גם הטנגנס קטן תמיד מ-1?
הסבירו.