זוויות בגופים: טריגונומטריה במרחב

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 9 מתוך 15לימוד

זוויות בגופים: טריגונומטריה במרחב

חזרה: טריגונומטריה במשולש ישר זווית

בכיתה י"א למדתם טריגונומטריה במשולש ישר זווית. $\displaystyle \alpha$ היא אחת הזוויות החדות: $\displaystyle a$ הניצב שמול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שליד $\displaystyle \alpha$ , ו- $\displaystyle c$ היתר.

\displaystyle \sin\alpha

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a}{c}

\displaystyle \cos\alpha

\displaystyle =

\displaystyle \frac{b}{c}

\displaystyle \tan\alpha

\displaystyle =

\displaystyle \frac{a}{b}

כשידועים שתי צלעות, מוצאים את הזווית במקש ההפוך של המחשבון: $\displaystyle {\alpha}={\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)}$ , וכך גם $\displaystyle \sin^{-1}$ ו- $\displaystyle \cos^{-1}$ .
כשידועות זווית וצלע, מוצאים צלע אחרת: למשל $\displaystyle {a}={b\cdot\tan\alpha}$ .
המחשבון במעלות; זווית מעוגלת כותבים אחרי $\displaystyle \approx$ .

זווית בתוך גוף

כדי לחשב זווית בגוף, מחפשים משולש ישר זווית שהזווית נמצאת בו:

הזווית הישרה נמצאת במקום שבו קו מאונך לבסיס – מקצוע זקוף, הגובה של פירמידה או של חרוט – פוגש את הבסיס.
מחשבים את הצלעות של המשולש שחסרות, לפי משפט פיתגורס.
בוחרים סינוס, קוסינוס או טנגנס לפי הצלעות שידועות.

הזווית בין אלכסון התיבה לבסיס

הזווית $\displaystyle \alpha$ בין אלכסון התיבה לבסיס נמצאת במשולש ישר הזווית שהצלעות שלו $\displaystyle e$ , $\displaystyle c$ ו- $\displaystyle d$ : הניצב שמול $\displaystyle \alpha$ הוא הגובה $\displaystyle c$ , והניצב שלידה הוא אלכסון הבסיס $\displaystyle e$ .

דוגמה. בחדר של 5 מ’ על 4 מ’, בגובה 3 מ’, הכבל מפינה של הרצפה אל הפינה הרחוקה של התקרה:

$\displaystyle {e}={\sqrt{5^2+4^2}}={\sqrt{41}}$ .
$\displaystyle {\alpha}={\tan^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{41}}\right)\approx25.10^{\circ}}$ .

הזווית בין פאה של פירמידה לבסיס

הזווית $\displaystyle \beta$ בין פאה צדדית לבסיס – כמה הגג תלול – נמצאת בנקודה $\displaystyle M$ , במשולש $\displaystyle h$ , $\displaystyle OM$ , $\displaystyle k$ :

$\displaystyle {\tan\beta}={\frac{h}{OM}}$ , ו- $\displaystyle {OM}={\frac{a}{2}}$ .

בחרוט הזווית $\displaystyle \gamma$ בין הקו היוצר לבסיס נמצאת במשולש $\displaystyle h$ , $\displaystyle r$ , $\displaystyle l$ : $\displaystyle {\tan\gamma}={\frac{h}{r}}$ .

תרגיל 1

המימדים של תיבה הם 8 ס"מ, 6 ס"מ, והגובה 5 ס"מ.
מה הזווית בין אלכסון התיבה לבסיס? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 2

פירמידת הזכוכית בלובר: צלע הבסיס 35 מ’, והגובה 21.6 מ’.
מה הזווית בין פאה צדדית לבסיס? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 3

ערימת חול היא חרוט: הרדיוס 2 מ’, והגובה 1.5 מ’.
באיזו זווית הדופן של הערימה נוטה לקרקע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 4

גג הוא פירמידה ריבועית: צלע הבסיס 10 מ’, וכל פאה נוטה לבסיס בזווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ .
עגלו כל תוצאה לשתי ספרות אחרי הנקודה.

הגובה של הגג

הגובה של פאה

תרגיל 5

המקצוע של קובייה הוא 1 מ’.
מה הזווית בין אלכסון הקובייה לבסיס? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

התיבה והקובייה

נפח התיבה – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle abc$
שטח הפנים של התיבה – שלושה זוגות של פאות שוות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+ac+bc)$
נפח הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$
שטח הפנים של הקובייה – שש פאות ריבועיות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$

המנסרה

נפח המנסרה – $\displaystyle B$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה (המרחק בין הבסיסים)
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$
שטח המעטפת – $\displaystyle P$ ההיקף של הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2B+M$

הגליל

נפח הגליל – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2h$
שטח המעטפת – מלבן שאורכו היקף הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi rh$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh$

הפירמידה והחרוט

נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle k$ הגובה של פאה צדדית, $\displaystyle h$ גובה הפירמידה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle k^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$
שטח הפנים של פירמידה ריבועית – הבסיס וארבעה משולשים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ak$
נפח החרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2h}{3}$
הקו היוצר $\displaystyle l$ – היתר במשולש שהניצבים שלו הרדיוס $\displaystyle r$ והגובה $\displaystyle h$
$\displaystyle l^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r^2+h^2$
שטח המעטפת של החרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi rl$
שטח הפנים של החרוט – הבסיס והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2+\pi rl$

הכדור

נפח הכדור – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}$
שטח הפנים של הכדור
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi r^2$

אלכסונים ומרחקים

אלכסון התיבה $\displaystyle d$ – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle d^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2+c^2$
אלכסון הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\sqrt{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle s$ מקצוע צדדי, $\displaystyle h$ הגובה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle s^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\frac{a^2}{2}$

טריגונומטריה במשולש ישר זווית

$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הזווית, כשידועים שני הניצבים
$\displaystyle \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$

המסלול הקצר ביותר על פני תיבה

מסלול מקודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו, על פני שתי פאות: אחרי הפריסה, האלכסון של מלבן שהצלעות שלו $\displaystyle a+b$ ו- $\displaystyle c$
$\displaystyle p^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b)^2+c^2$