דלג לתוכן

אלכסונים ומרחקים בגופים

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 8 מתוך 15לימוד

אלכסונים ומרחקים בגופים

אלכסון התיבה

abced

אלכסון התיבה, d\displaystyle d, מחבר קודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו ביותר, דרך הפנים של התיבה. מחשבים אותו בשני משולשים ישרי זווית:

  • אלכסון הבסיס, e\displaystyle e, הוא היתר במשולש שהניצבים שלו a\displaystyle a ו-b\displaystyle b: e2=a2+b2\displaystyle {e^2}={a^2+b^2}.
  • המקצוע c\displaystyle c מאונך לבסיס, ולכן גם ל-e\displaystyle e. אלכסון התיבה הוא היתר במשולש שהניצבים שלו e\displaystyle e ו-c\displaystyle c: d2=e2+c2\displaystyle {d^2}={e^2+c^2}.
d2\displaystyle d^2 =\displaystyle = a2+b2+c2\displaystyle a^2+b^2+c^2

בקובייה שלושת המימדים שווים, ו-d2=3a2\displaystyle {d^2}={3a^2}:

d\displaystyle d =\displaystyle = a3\displaystyle a\sqrt{3}
דוגמה: כבל בחדר

הרצפה של חדר היא מלבן של 5 מ’ על 4 מ’, והגובה שלו 3 מ’.
מותחים כבל ישר מפינה של הרצפה אל הפינה של התקרה הרחוקה ממנה ביותר.
מה האורך של הכבל?

d=52+42+32=50≈7.07d=\sqrt{5^2+4^2+3^2}=\sqrt{50}\approx7.07

הכבל באורך 7.07 מ’, בערך.

מקצוע צדדי של פירמידה

hsOa

גם בפירמידה ריבועית מוצאים משולש ישר זווית: הגובה h\displaystyle h, הקטע מ-O\displaystyle O אל קודקוד של הבסיס, והמקצוע הצדדי s\displaystyle s – היתר.

  • הקטע מ-O\displaystyle O אל הקודקוד הוא חצי מהאלכסון של הבסיס. האלכסון של ריבוע שהצלע שלו a\displaystyle a הוא a2\displaystyle a\sqrt{2}, ולכן הקטע הוא a22\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}, והריבוע שלו a22\displaystyle \frac{a^2}{2}.
s2\displaystyle s^2 =\displaystyle = h2+a22\displaystyle h^2+\frac{a^2}{2}
תרגיל 1

קופסה היא תיבה של 30 ס"מ על 20 ס"מ, והגובה שלה 10 ס"מ.
האם אפשר להכניס לתוכה מקל ישר שאורכו 35 ס"מ, ולסגור את המכסה?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    תא המטען של משאית הוא תיבה: 4.2 מ’ על 2 מ’, והגובה שלו 2.2 מ’.
    מה האורך של הצינור הישר הארוך ביותר שנכנס בו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      הרצפה של כיתה היא מלבן של 6 מ’ על 4 מ’, והגובה שלה 3 מ’.
      מנורה תלויה באמצע התקרה, בדיוק מעל מרכז הרצפה.
      מה המרחק מהמנורה אל פינה של הרצפה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 4

        אוהל הוא פירמידה ריבועית: צלע הרצפה 6 מ’, והגובה 4 מ’.
        לאורך כל מקצוע צדדי יש מוט.
        עגלו כל תוצאה לשתי ספרות אחרי הנקודה.

        א
        המרחק מהמרכז של הרצפה אל פינה שלה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          האורך של מוט

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 5

            ארגז אחסון הוא קובייה שהמקצוע שלה 50 ס"מ.
            מה האורך של המקל הישר הארוך ביותר שנכנס בו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה