פריסות והמסלול הקצר ביותר על פני גוף

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 12 מתוך 15לימוד

פריסות והמסלול הקצר ביותר על פני גוף

פריסה של קובייה

פריסה של גוף היא מה שמתקבל כשגוזרים אותו לאורך חלק מהמקצועות ופורשים אותו שטוח. כשמקפלים את הפריסה בחזרה, מקבלים את הגוף.

לקובייה יש 11 פריסות שונות, וכולן בנויות משישה ריבועים. לא כל שישה ריבועים מחוברים הם פריסה: יש צורות שבהן שתי פאות נופלות זו על זו בקיפול.
פאות נגדיות הן שתי פאות שמול זו את זו בקובייה. בשורה של ריבועים בפריסה, ריבוע והריבוע שאחרי הבא הם פאות נגדיות: בפריסה שבציור $\displaystyle A$ מול $\displaystyle C$ , $\displaystyle B$ מול $\displaystyle D$ , ו- $\displaystyle E$ מול $\displaystyle F$ .
בקוביית משחק הסכום של כל שתי פאות נגדיות הוא 7: 1 מול 6, 2 מול 5, 3 מול 4.

תרגיל 1

אילו מהצורות הן פריסות של קובייה? דמיינו שאתם מקפלים כל צורה, והסבירו.

תרגיל 2

אילו מהפריסות מתקפלת לקוביית משחק – הסכום של כל שתי פאות נגדיות 7? הסבירו.

פריסות של גליל ושל חרוט

פריסה של גליל: מלבן ושני עיגולים. האורך של המלבן הוא ההיקף של העיגול, $\displaystyle 2\pi r$ – הוא מתלפף סביבו בדיוק פעם אחת.
פריסה של חרוט: עיגול, וגזרה של עיגול גדול יותר שהרדיוס שלה הוא הקו היוצר $\displaystyle l$ . הקשת של הגזרה מתלפפת סביב הבסיס, ולכן האורך שלה $\displaystyle 2\pi r$ .

תרגיל 3

גוזרים מפח פריסה של פחית שהיא גליל: הרדיוס 5 ס"מ, והגובה 12 ס"מ.
מה האורך של המלבן בפריסה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

המסלול הקצר ביותר על פני תיבה

נמלה הולכת על פני תיבה של 4 על 3, בגובה 2, מהפינה $\displaystyle A$ שלמטה אל הפינה $\displaystyle B$ הרחוקה ממנה ביותר למעלה. היא לא יכולה לעבור דרך הפנים של התיבה.

על דף שטוח, הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות היא קטע ישר. לכן פורשים את הפאות שהנמלה עוברת עליהן לדף אחד – חלק מפריסה – ומותחים קו ישר מ- $\displaystyle A$ אל $\displaystyle B$ .
כאן היא עוברת על החזית ועל המכסה. פרושים, הם מלבן של 4 על $\displaystyle {2+3}={5}$ , והמסלול הוא האלכסון שלו:

\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\approx6.40

יש עוד שתי דרכים לפרוש: מלבן של 3 על $\displaystyle {4+2}={6}$ , ומלבן של 2 על $\displaystyle {4+3}={7}$ . בודקים את כולן ובוחרים את הקצרה ביותר:

$\displaystyle {\sqrt{3^2+6^2}}={\sqrt{45}\approx6.71}$
$\displaystyle {\sqrt{2^2+7^2}}={\sqrt{53}\approx7.28}$

המסלול הקצר ביותר הוא $\displaystyle \sqrt{41}\approx6.40$ – כשהמקצוע הארוך ביותר, 4, נשאר לבד, ושני הקצרים מתחברים.

\displaystyle p^2

\displaystyle =

\displaystyle (a+b)^2+c^2

תרגיל 4

זבוב הולך על פני קובייה שהמקצוע שלה 3 ס"מ, מקודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו ביותר.
מה האורך של המסלול הקצר ביותר על פני הקובייה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 5

הרצפה של חדר היא מלבן של 6 מ’ על 4 מ’, והגובה שלו 3 מ’.
עכביש נמצא בפינה של הרצפה, וזבוב בפינה של התקרה הרחוקה ממנה ביותר.
העכביש הולך על הקירות, על הרצפה ועל התקרה.
מה האורך של המסלול הקצר ביותר שלו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

התיבה והקובייה

נפח התיבה – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle abc$
שטח הפנים של התיבה – שלושה זוגות של פאות שוות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+ac+bc)$
נפח הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$
שטח הפנים של הקובייה – שש פאות ריבועיות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$

המנסרה

נפח המנסרה – $\displaystyle B$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה (המרחק בין הבסיסים)
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$
שטח המעטפת – $\displaystyle P$ ההיקף של הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2B+M$

הגליל

נפח הגליל – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2h$
שטח המעטפת – מלבן שאורכו היקף הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi rh$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh$

הפירמידה והחרוט

נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle k$ הגובה של פאה צדדית, $\displaystyle h$ גובה הפירמידה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle k^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$
שטח הפנים של פירמידה ריבועית – הבסיס וארבעה משולשים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ak$
נפח החרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2h}{3}$
הקו היוצר $\displaystyle l$ – היתר במשולש שהניצבים שלו הרדיוס $\displaystyle r$ והגובה $\displaystyle h$
$\displaystyle l^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r^2+h^2$
שטח המעטפת של החרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi rl$
שטח הפנים של החרוט – הבסיס והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2+\pi rl$

הכדור

נפח הכדור – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}$
שטח הפנים של הכדור
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi r^2$

אלכסונים ומרחקים

אלכסון התיבה $\displaystyle d$ – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle d^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2+c^2$
אלכסון הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\sqrt{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle s$ מקצוע צדדי, $\displaystyle h$ הגובה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle s^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\frac{a^2}{2}$

טריגונומטריה במשולש ישר זווית

$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הזווית, כשידועים שני הניצבים
$\displaystyle \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$

המסלול הקצר ביותר על פני תיבה

מסלול מקודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו, על פני שתי פאות: אחרי הפריסה, האלכסון של מלבן שהצלעות שלו $\displaystyle a+b$ ו- $\displaystyle c$
$\displaystyle p^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b)^2+c^2$