תרגול: ראייה מרחבית

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 14 מתוך 15תרגול

תרגול: ראייה מרחבית

זו מפת בנייה של בניין של קוביות.

כמה קוביות יש בבניין?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

שרטטו את המבט מלפנים ואת המבט מימין.

אלה המבטים של בניין: 1 מלפנים, 2 מימין, 3 מלמעלה.
מה המספר הגדול ביותר של קוביות שיכול להיות בבניין?

מקפלים את הפריסה לקובייה.
איזו פאה תהיה מול $\displaystyle A$ ? מול $\displaystyle B$ ? מול $\displaystyle E$ ?

בפריסה של גליל המלבן הוא 31.4 ס"מ על 12 ס"מ, והצלע של 31.4 ס"מ מתלפפת סביב הבסיס.
מה הרדיוס של הבסיס? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

קופסת דגני בוקר היא תיבה: רוחב 30 ס"מ, עומק 8 ס"מ וגובה 20 ס"מ.
נמלה הולכת על פני הקופסה מהפינה $\displaystyle A$ אל הפינה $\displaystyle B$ .
מה האורך של המסלול הקצר ביותר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

חשבו את השטח של החתך. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה כשצריך.

גבינה עגולה – גליל שהרדיוס שלו 10 ס"מ והגובה שלו 4 ס"מ – חתוכה לשניים לאורך הציר

תיבה שהבסיס שלה 6 ס"מ על 4 ס"מ והגובה שלה 3 ס"מ, חתוכה דרך שני מקצועות זקופים נגדיים

האם חתך של גליל יכול להיות משולש? הסבירו.

שרטטו שרטוט מרחבי של קובייה שהמקצוע שלה 4 משבצות. סמנו בקו מקווקו את המקצועות המוסתרים.

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

התיבה והקובייה

נפח התיבה – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle abc$
שטח הפנים של התיבה – שלושה זוגות של פאות שוות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+ac+bc)$
נפח הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$
שטח הפנים של הקובייה – שש פאות ריבועיות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$

המנסרה

נפח המנסרה – $\displaystyle B$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה (המרחק בין הבסיסים)
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$
שטח המעטפת – $\displaystyle P$ ההיקף של הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2B+M$

הגליל

נפח הגליל – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2h$
שטח המעטפת – מלבן שאורכו היקף הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi rh$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh$

הפירמידה והחרוט

נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle k$ הגובה של פאה צדדית, $\displaystyle h$ גובה הפירמידה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle k^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$
שטח הפנים של פירמידה ריבועית – הבסיס וארבעה משולשים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ak$
נפח החרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2h}{3}$
הקו היוצר $\displaystyle l$ – היתר במשולש שהניצבים שלו הרדיוס $\displaystyle r$ והגובה $\displaystyle h$
$\displaystyle l^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r^2+h^2$
שטח המעטפת של החרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi rl$
שטח הפנים של החרוט – הבסיס והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2+\pi rl$

הכדור

נפח הכדור – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}$
שטח הפנים של הכדור
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi r^2$

אלכסונים ומרחקים

אלכסון התיבה $\displaystyle d$ – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle d^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2+c^2$
אלכסון הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\sqrt{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle s$ מקצוע צדדי, $\displaystyle h$ הגובה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle s^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\frac{a^2}{2}$

טריגונומטריה במשולש ישר זווית

$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הזווית, כשידועים שני הניצבים
$\displaystyle \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$

המסלול הקצר ביותר על פני תיבה

מסלול מקודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו, על פני שתי פאות: אחרי הפריסה, האלכסון של מלבן שהצלעות שלו $\displaystyle a+b$ ו- $\displaystyle c$
$\displaystyle p^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b)^2+c^2$