דלג לתוכן

הפירמידה והחרוט: נפח ושטח פנים

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 6 מתוך 15לימוד

הפירמידה והחרוט: נפח ושטח פנים

נפח הפירמידה והחרוט

ממלאים פירמידה בחול ושופכים אותו למנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה. אחרי שלוש פירמידות מלאות המנסרה מלאה. כך גם חרוט וגליל:

  • הנפח של פירמידה הוא שליש מהנפח של המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה.
  • הנפח של חרוט הוא שליש מהנפח של הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה.
V\displaystyle V =\displaystyle = B⋅h3\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}
V\displaystyle V =\displaystyle = πr2h3\displaystyle \frac{\pi r^2h}{3}

B\displaystyle B – השטח של הבסיס, h\displaystyle h – הגובה: המרחק מהראש אל הבסיס.

גבהים בפירמידה ריבועית

hkOMa

בפירמידה ריבועית הראש נמצא בדיוק מעל מרכז הבסיס, O\displaystyle O. יש בה שני גבהים:

  • h\displaystyle h – הגובה של הפירמידה: מהראש אל O\displaystyle O. בו מחשבים נפח.
  • k\displaystyle k – הגובה של פאה צדדית: מהראש אל M\displaystyle M, אמצע צלע הבסיס. בו מחשבים את השטח של המשולשים.

הקטע OM\displaystyle OM הוא חצי מצלע הבסיס. h\displaystyle h מאונך לבסיס, ולכן h\displaystyle h, OM\displaystyle OM ו-k\displaystyle k הם צלעות של משולש ישר זווית, ו-k\displaystyle k הוא היתר:

k2\displaystyle k^2 =\displaystyle = h2+(a2)2\displaystyle h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2

שטח הפנים: הבסיס a2\displaystyle a^2, ועוד ארבעה משולשים, a⋅k2\displaystyle \frac{a\cdot k}{2} כל אחד:

S\displaystyle S =\displaystyle = a2+2ak\displaystyle a^2+2ak
הקו היוצר ושטח הפנים של חרוט

hrl

הקו היוצר של חרוט, l\displaystyle l, הוא הקטע מהראש אל שפת הבסיס. הגובה h\displaystyle h, הרדיוס r\displaystyle r והקו היוצר הם צלעות של משולש ישר זווית, ו-l\displaystyle l הוא היתר:

l2\displaystyle l^2 =\displaystyle = r2+h2\displaystyle r^2+h^2

המעטפת של חרוט נפרשת לגזרה של עיגול, והשטח שלה πrl\displaystyle \pi rl. שטח הפנים הוא הבסיס ועוד המעטפת:

M\displaystyle M =\displaystyle = πrl\displaystyle \pi rl
S\displaystyle S =\displaystyle = πr2+πrl\displaystyle \pi r^2+\pi rl
דוגמה: פירמידת הזכוכית

בכניסה למוזיאון הלובר בפריז עומדת פירמידה ריבועית של זכוכית.
צלע הבסיס שלה 35 מ’, והגובה שלה 21.6 מ’.
מה הנפח שלה, וכמה מ"ר של זכוכית יש בארבע הפאות הצדדיות?

  • הנפח: V=352⋅21.63=8820\displaystyle {V}={\frac{35^2\cdot21.6}{3}}={8820} מ"ק.
  • הגובה של פאה: OM=35:2=17.5\displaystyle {OM}={35:2}={17.5}, ולכן k=21.62+17.52≈27.80\displaystyle {k}={\sqrt{21.6^2+17.5^2}\approx27.80} מ'.
  • הזכוכית: ארבעה משולשים, 4⋅35⋅27.802≈1946\displaystyle 4\cdot\frac{35\cdot27.80}{2}\approx1946 מ"ר.
תרגיל 1

ערימת חול באתר בנייה היא חרוט: הרדיוס 2 מ’, והגובה 1.5 מ’.
משאית מובילה עד 8 מ"ק חול.
האם משאית אחת מספיקה כדי לפנות את הערימה?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    אוהל אינדיאני הוא חרוט: הרדיוס של הרצפה 1.5 מ’, והגובה שלו 2 מ’.
    הבד מכסה את המעטפת.

    א
    הקו היוצר, במטרים

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב
      כמה מ"ר של בד יש באוהל? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        הגג של ביתן הוא פירמידה ריבועית: צלע הבסיס 8 מ’, והגובה 3 מ’.
        מכסים את ארבע הפאות ברעפים. חבילת רעפים מכסה 1.5 מ"ר.

        א
        הגובה של פאה, במטרים

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב
          השטח של ארבע הפאות, במ"ר

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג
            כמה חבילות רעפים צריך לקנות?
            תרגיל 4

            גביע גלידה הוא חרוט: הרדיוס 2.5 ס"מ, והגובה 10 ס"מ.
            כמה מ"ל גלידה נכנסים בגביע, עד השפה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה