דלג לתוכן

הכדור: נפח ושטח פנים

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 7 מתוך 15לימוד

הכדור: נפח ושטח פנים

הכדור

r

כל הנקודות על פני כדור נמצאות באותו מרחק מהמרכז שלו – הרדיוס, r\displaystyle r. הקוטר הוא פעמיים הרדיוס.

  • מעגל גדול הוא מעגל על פני הכדור שהמרכז שלו הוא המרכז של הכדור – כמו קו המשווה על כדור הארץ. הרדיוס שלו r\displaystyle r.
  • חצי כדור הוא החלק של הכדור מצד אחד של מעגל גדול – כמו כיפה.
נפח ושטח פנים של כדור
V\displaystyle V =\displaystyle = 4πr33\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}
S\displaystyle S =\displaystyle = 4πr2\displaystyle 4\pi r^2
  • שטח הפנים של כדור הוא בדיוק פי 4 מהשטח של עיגול גדול, πr2\displaystyle \pi r^2.
  • לחצי כדור: חצי מהנפח, וחצי משטח הפנים המעוגל, 2πr2\displaystyle 2\pi r^2 – ועוד העיגול שסוגר אותו מלמטה, אם יש כזה.
דוגמה: כדורסל

הקוטר של כדורסל 24 ס"מ, ולכן הרדיוס שלו 12 ס"מ.

  • העור שעוטף אותו: S=4π⋅122=576π≈1809.56\displaystyle {S}={4\pi\cdot12^2}={576\pi\approx1809.56} סמ"ר.
  • האוויר שבתוכו: V=4π⋅1233=2304π≈7238.23\displaystyle {V}={\frac{4\pi\cdot12^3}{3}}={2304\pi\approx7238.23} סמ"ק, כלומר בערך 7.24 ליטר.
תרגיל 1

הרדיוס של כדורגל 11 ס"מ.
כמה סמ"ר של עור יש בו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    תרגיל 2

    מכל גז במפעל הוא כדור שהרדיוס שלו 5 מ’.
    כמה מ"ק גז נכנסים בו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      הגג של מצפה כוכבים הוא כיפה – חצי כדור שהרדיוס שלו 10 מ’.
      צובעים את הכיפה מבחוץ. ליטר צבע מספיק ל-8 מ"ר.

      א
      כמה מ"ר צובעים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב
        כמה ליטרים של צבע צריך? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 4

          שלושה כדורי טניס נמכרים בשפופרת שהיא גליל. הרדיוס של כל כדור 3.3 ס"מ.
          הכדורים נוגעים בדפנות של השפופרת, ושלושתם יחד בדיוק בגובה שלה: הרדיוס של השפופרת 3.3 ס"מ, והגובה שלה 6⋅3.3=19.8\displaystyle {6\cdot3.3}={19.8} ס"מ.
          איזה חלק מהשפופרת ממלאים הכדורים? כתבו את התשובה כשבר.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 5

            כדורסל שהקוטר שלו 24 ס"מ נארז בקופסה שהיא קובייה, והמקצוע שלה 24 ס"מ.
            כמה אחוזים מהקופסה ממלא הכדור? עגלו לאחוז שלם.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה