ראייה מרחבית: מבטים ומפת בנייה

התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל) שיעור 11 מתוך 15לימוד

ראייה מרחבית: מבטים ומפת בנייה

בניין של קוביות

זה בניין של קוביות שוות, שעומד על שולחן:

בשרטוט רואים שלוש פאות של כל קובייה: החזית, הצד הימני והחלק העליון.
חלק מהקוביות מוסתרות מאחורי קוביות אחרות: מהשרטוט לבדו לא תמיד אפשר לדעת כמה קוביות יש.

שלושה מבטים

מבט הוא מה שרואים כשמסתכלים על הבניין ישר מצד אחד, בעין אחת: ריבוע לכל קובייה שרואים, בלי עומק. אלה שלושת המבטים של הבניין:

מבט מלפנים: בכל עמודה רואים רק את הקובייה הגבוהה ביותר מכל מה שעומד מאחוריה – 2, 3, 1.
מבט מימין: מי שעומד מימין לבניין רואה את החזית שלו משמאל. בכל שורה (מלפנים אחורה) רואים את הגבוהה ביותר – 1, 3, 2.
מבט מלמעלה: הרצפה של הבניין – ריבוע לכל מקום שעומדת בו קובייה, החזית למטה.

מפת בנייה

מפת בנייה היא המבט מלמעלה, ובכל ריבוע כתוב כמה קוביות עומדות עליו, זו על זו. המפה מתארת את הבניין בדיוק, ומתוכה עונים על הכול:

מספר הקוביות – הסכום של כל המספרים: $\displaystyle {1+2+2+3+1+1+1+1}={12}$ .
המבט מלפנים – בכל עמודה של המפה, המספר הגדול ביותר.
המבט מימין – בכל שורה של המפה, המספר הגדול ביותר; השורה הקדמית בצד שמאל של המבט.

תרגיל 1

זו מפת בנייה של בניין אחר.

כמה קוביות יש בבניין?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

שרטטו את המבט מלפנים ואת המבט מימין.

תרגיל 2

זה עוד בניין של קוביות:

איזה מהמבטים הוא המבט מימין? מה הם שני האחרים? הסבירו.

מספר הקוביות לפי שלושה מבטים

שלושה מבטים לא תמיד קובעים כמה קוביות יש. את המספר הגדול ביותר של קוביות שמתאים להם מוצאים כך:

בכל ריבוע של המבט מלמעלה אפשר להעמיד קוביות עד הגובה של העמודה שלו במבט מלפנים, וגם עד הגובה של השורה שלו במבט מימין.
לכן כותבים בכל ריבוע את הקטן מבין שני הגבהים, ומחברים.

במבטים של הבניין הראשון: בשורה האחורית יוצא $\displaystyle 2$ ו- $\displaystyle 2$ (בבניין יש שם 1 ו-2), ובשאר הריבועים בדיוק מה שיש. המבטים האלה מתאימים לבניין של 12 קוביות, וגם לבניין של $\displaystyle {12+1}={13}$ קוביות.

תרגיל 3

אלה המבטים של בניין: 1 מלפנים, 2 מימין, 3 מלמעלה.
מה המספר הגדול ביותר של קוביות שיכול להיות בבניין?

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

התיבה והקובייה

נפח התיבה – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle abc$
שטח הפנים של התיבה – שלושה זוגות של פאות שוות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+ac+bc)$
נפח הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$
שטח הפנים של הקובייה – שש פאות ריבועיות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$

המנסרה

נפח המנסרה – $\displaystyle B$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה (המרחק בין הבסיסים)
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$
שטח המעטפת – $\displaystyle P$ ההיקף של הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2B+M$

הגליל

נפח הגליל – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2h$
שטח המעטפת – מלבן שאורכו היקף הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi rh$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh$

הפירמידה והחרוט

נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle k$ הגובה של פאה צדדית, $\displaystyle h$ גובה הפירמידה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle k^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$
שטח הפנים של פירמידה ריבועית – הבסיס וארבעה משולשים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ak$
נפח החרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2h}{3}$
הקו היוצר $\displaystyle l$ – היתר במשולש שהניצבים שלו הרדיוס $\displaystyle r$ והגובה $\displaystyle h$
$\displaystyle l^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r^2+h^2$
שטח המעטפת של החרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi rl$
שטח הפנים של החרוט – הבסיס והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2+\pi rl$

הכדור

נפח הכדור – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}$
שטח הפנים של הכדור
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi r^2$

אלכסונים ומרחקים

אלכסון התיבה $\displaystyle d$ – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle d^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2+c^2$
אלכסון הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\sqrt{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle s$ מקצוע צדדי, $\displaystyle h$ הגובה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle s^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\frac{a^2}{2}$

טריגונומטריה במשולש ישר זווית

$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הזווית, כשידועים שני הניצבים
$\displaystyle \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$

המסלול הקצר ביותר על פני תיבה

מסלול מקודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו, על פני שתי פאות: אחרי הפריסה, האלכסון של מלבן שהצלעות שלו $\displaystyle a+b$ ו- $\displaystyle c$
$\displaystyle p^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b)^2+c^2$