דלג לתוכן

נתונים מקובצים

מדע וחברה, כיתה י' (3 יח"ל) שיעור 9 מתוך 15לימוד

נתונים מקובצים

מחלקות

כשיש הרבה ערכים שונים, מקבצים אותם במחלקות – תחומים ברוחב שווה – וסופרים כמה נתונים יש בכל מחלקה. אלה נתונים מקובצים.

חברה שאלה 40 עובדים כמה דקות לוקחת להם הדרך לעבודה:

דקות0–1010–2020–3030–4040–50
עובדים5131273
  • המחלקה 10–20 היא “מ-10 עד פחות מ-20”: עובד שהדרך שלו לוקחת 20 דקות נספר במחלקה 20–30.
  • בטבלה רואים את התמונה הכללית, אבל כבר לא את הנתונים עצמם: לא יודעים כמה זמן בדיוק לוקחת הדרך לכל עובד.
היסטוגרמה

היסטוגרמה היא דיאגרמת עמודות של נתונים מקובצים: עמודה לכל מחלקה, והגובה שלה הוא השכיחות של המחלקה. העמודות צמודות זו לזו, כי כל מחלקה מתחילה במקום שבו הקודמת נגמרת; גבולות המחלקות כתובים מתחתיהן.

0246810121401020304050דקותעובדים5131273

המחלקה שהשכיחות שלה הגבוהה ביותר היא המחלקה השכיחה: כאן 10–20 דקות, עם 13 עובדים.

אמצע המחלקה ואומדן לממוצע

מנתונים מקובצים אפשר לחשב רק אומדן לממוצע: מניחים שכל הנתונים במחלקה נמצאים באמצע המחלקה, ומחשבים ממוצע משוקלל.

xˉ≈m1f1+m2f2+⋯+mkfkf1+f2+⋯+fk\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}

m1,…,mk\displaystyle m_1, \dots, m_k – אמצעי המחלקות, f1,…,fk\displaystyle f_1, \dots, f_k – השכיחויות שלהן.

בדרך לעבודה: אמצע המחלקה 0–10 הוא 0+102=5\displaystyle {\frac{0+10}{2}}={5}, ואמצעי המחלקות האחרות 15, 25, 35 ו-45.

xˉ≈5⋅5+15⋅13+25⋅12+35⋅7+45⋅340=25+195+300+245+13540=90040=22.5\bar{x}\approx\frac{5\cdot5+15\cdot13+25\cdot12+35\cdot7+45\cdot3}{40}=\frac{25+195+300+245+135}{40}=\frac{900}{40}=22.5

הדרך לעבודה לוקחת בממוצע בערך 22.5 דקות. זה אומדן: בתוך כל מחלקה הנתונים האמיתיים יכולים להיות גבוהים או נמוכים מהאמצע.

מחלקת החציון

מנתונים מקובצים אי אפשר למצוא את החציון בדיוק, אבל אפשר למצוא את מחלקת החציון – המחלקה שהחציון נמצא בה.

יש 40 עובדים, ולכן החציון נמצא בין הנתון ה-20 לנתון ה-21 ברשימה המסודרת.
סופרים מהמחלקה הראשונה:

  • במחלקה 0–10 – 5 עובדים: הנתונים 1–5.
  • במחלקה 10–20 – 13 עובדים: הנתונים 6–18.
  • במחלקה 20–30 – 12 עובדים: הנתונים 19–30.

הנתונים ה-20 וה-21 נמצאים במחלקה 20–30, וזו מחלקת החציון. לפחות חצי מהעובדים מגיעים לעבודה בפחות מ-30 דקות.

תרגיל 1

הגובה של 50 תלמידי שכבה י’, בס"מ:

05101520150160170180190גובה (ס"מ)תלמידים618206
א

מהי המחלקה השכיחה?

ב

חשבו אומדן לגובה הממוצע.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ג

    מהי מחלקת החציון? הסבירו.

    תרגיל 2

    חברת סלולר בדקה כמה ג’יגה־בייט (GB) גלישה ניצלו 80 מנויים בחודש אחד:

    GB בחודש0–1010–2020–3030–40
    מנויים16302410
    א

    חשבו אומדן לניצול הממוצע.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ב

      מהי מחלקת החציון?

      ג

      כמה מנויים ניצלו 20 GB או יותר?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

        החברה שוקלת להציע לכל המנויים חבילה של 20 GB בחודש.
        האם החבילה תספיק לרובם? הסבירו בעזרת התשובות שלכם.

        תרגיל 3

        זמני ההמתנה של 20 מטופלים בחדר מיון, בדקות:
        12,35,48,27,8,55,31,19,42,24\displaystyle 12, 35, 48, 27, 8, 55, 31, 19, 42, 24
        37,15,29,51,33,22,46,38,26,44\displaystyle 37, 15, 29, 51, 33, 22, 46, 38, 26, 44

        א

        מלאו את השכיחות של כל אחת מהמחלקות 0–15, 15–30, 30–45, 45–60.

        0–15

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          15–30

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            30–45

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              45–60

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                חשבו מהשכיחויות אומדן לזמן ההמתנה הממוצע.

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  ג

                  חשבו את הממוצע המדויק מהנתונים עצמם.

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    ד

                    מדוע האומדן והממוצע המדויק שונים?